Завдання 2-го етапу Всеукраїнської олімпіади юних математиків 2021 р. 7 клас 0. Яке з чисел є розв'язком рівняння 3y – 4 = 1 А. 5/3 Б. 4/3 в. 1 Г. 3/5 1. Миколка і Петрик задумали по цілому числу. Миколка знайшов їхню різницю, i а Петрик їхній добуток. Потім вони разом вирахували добуток отриманих чисел. Чи могли вони одержати число 20202021? 2. Представте число 100°у вигляді суми чотирьох доданків, які задовольняли б наступним умовам: якщо від першого доданка відняти 4, до другого додати 4, третій помножити на 4, а четвертий розділити на 4, то завжди вийде одне і те ж число. 3. Знайдіть площу прямокутника, складеного з квад- ратів (див. рис.), якщо його периметр 34 см. 4. На дошці записані числа 3, 6, 9, 12. Дозволяється з суми будь-яких двох з них, відняти третє і записати нове число на дошці. Чи можна через якусь кількість таких операцій отримати число 2021? (Відповідь обгрунтуйте). 5. Три понеділка місяця припали на парні числа. Яким днем тижня було 19 число цього місяця?

1) 5+10 = 15 см - длина АВ

2) 15²-12²=ВС². (По теореме Пифагора) 225-144=81, ВС =√81=9 см (ВС=9 см)

3) Площ. АВС находим так  (АС*ВС)÷2 , т.е. (12*9)÷2=54 см²

Теперь надо найти площ. треугольника МВК и вычесть ее из площ. АВС.

4) Т.к. углы АСВ и МКВ - прямые, а АВ=10 см, что составляет 2/3 от АВ, то ВК равно 2/3 от ВС, т.е. 6 см. ВК=6 см.

5) По теор. Пифагора МВ²-ВК²=МК², т.е 100-36=64, МК-√64=8 см

6) Площ. МВК находим так  (МК*ВК)÷2 , т.е. (8*6)÷2= 24 см²

7) Площ. четырехугол. АМКС = 54-24=30 (30 см²)

Дано:

AD - высота  

AD = 14.4 дм  

sin C = 4/5  

Найти АВ и АС.  

Решение.  

Рассмотрим треугольник АВС. AD - высота к стороне ВС, отсюда угол ADB = углу ADC = 900.  

Рассмотрим треугольник ADC - прямоугольный, т.к. угол ADC - прямой.  

sin С = AD / AC (отношение противолежащего катета к гипотенузе), отсюда  

AC = AD / sin A = 14,4 : 4/5 = 18  

Рассмотрим треугольник АВС.  

Угол С = углу А, отсюда sin C = sin A = 4/5  

Найдем cos А.  

cos2A + sin2A = 1  

cos2A = 1 - sin2A = 1 - (16/25) = 9/25  

cos A = 3/5  

По свойствам равнобедренного треугольника (следствие теоремы косинусов):  

a = b / 2cosA, отсюда  

BC = AC / 2cosA = 18 / (6/5) = 15  

ответ: АС = 18 дм, АВ = ВС = 15 дм.