Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости а, а угол между плоскостями а и ABC равен 60 градусов. Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если АС=5 см, АВ=13 см.

 У равностороннего треугольника все стороны и все углы равны. Т.к. сумма углов треугольника равна 180, то каждый его угол равен 180÷3=60. Если говорить о равнобедренном треугольнике, то у него только два равных угла. Пусть а, в и с - углы, тогда составим систему уравнений:
а+в+с=180
а+в-с=40
Складываем уравнения:
2а+2в=220
а+в=110
с=70
Система имеет два решения:
если а=в, то а=в=110÷2=55, с=70
Если а или в равно с, то с=а=70, а в=180-70×2=40.

Для любого треугольника данная задача имеет бесконечное множество решений.

Дано: равносторонний треугольник АВС, R = 10 см
Найти: P - ?
Решение:
1. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника равен двум радиусам вписанной в него окружности => r = 10:2 = 5 см.
2. Если сложить два радиуса, то мы получим высоту, медиану и биссектрису треугольника одновременно, так как он равносторонний => этот отрезок равен 5 + 10 = 15.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который отсёк этот отрезок (прямоуг. т. к. высота). Одна из сторон будет равна Х, другая - 2Х (т.к. Х - половина стороны р/ст треугольника, которую отсекла медиана, являющаяся высотой)
По теореме Пифагора находим Х:
4х² - х² = 225
3х² = 225
х² = 75
х = 5√3 и х = -5√3, но этот корень не подходит по усл., а значит он посторонний
3. 5√3 - половина стороны, значит вся сторона = 10√3
Р = 3 * 10√3 = 30√3
ответ: 30√3.