1.В основании пирамиды SABCD лежит ромб. Высота пирамиды SA перпендикулярна основанию. Докажите, что SC перпендикулярно BD.
2.Длины сторон прямоугольника равны 16 и 12. Через точку О пересечения диагоналей прямоугольника проведен перпендикуляр к плоскости прямоугольника ОТ равный 24. Найдите расстояние от точки Т до вершин прямоугольника.
3.Дан прямоугольник АВСД. На стороне АВ построен двугранный угол КАВС, равный 30 градусам. АК перпендикулярна АВ, АК=2√3, АВ=4, АД=8. Найдите КС.
4.В основании пирамиды SABCD лежит ромб. Высота пирамиды SA перпендикулярна основанию. Найдите расстояние от точки S до прямой BD, если сторона ромба равна 6, SC=10, и треугольник АВС равносторонний.
5.В правильной четырёхугольной призме АВСДА1В1С1Д1 в основании лежит квадрат со стороной 15. Высота призмы равна 20. В призме проведено сечение проходящее через прямую Д1С1 перпендикулярно плоскости А1В1СД. Найдите периметр этого сечения.

Поскольку плоскость сечения параллельна оси цилиндра, сечением будет прямоугольник с высотой H, равной высоте цилиндра, и основанием длиной L, являющемся хордой, лежащей в основании цилиндра. Также известно, что диагональ прямоугольника имеет наклон в 60 градусов к его основанию. Отсюда можно записать следующие соотношения:

Далее проведем отрезки, соединяющие концы хорды с центром основания цилиндра. Получится равнобедренный треугольник с углом в вершине 120 градусов и бедрами, равными радиусу основания цилиндра. Проведя в этом треугольнике высоту из вешины к хорде, получим два прямоугольных треугольника, одним из катетов которых является половина хорды. Поскольку угол между этими катетами и гипотенузой равен 30 градусам, можно записать следующее соотношение между длиной хорды и радиусом основания цилиндра:

Запишем теперь выражение для площади боковой поверхности цилиндра:

ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна 32пи кв. см 

Поскольку плоскость сечения параллельна оси цилиндра, сечением будет прямоугольник с высотой H, равной высоте цилиндра, и основанием длиной L, являющемся хордой, лежащей в основании цилиндра. Также известно, что диагональ прямоугольника имеет наклон в 60 градусов к его основанию. Отсюда можно записать следующие соотношения:

Далее проведем отрезки, соединяющие концы хорды с центром основания цилиндра. Получится равнобедренный треугольник с углом в вершине 120 градусов и бедрами, равными радиусу основания цилиндра. Проведя в этом треугольнике высоту из вешины к хорде, получим два прямоугольных треугольника, одним из катетов которых является половина хорды. Поскольку угол между этими катетами и гипотенузой равен 30 градусам, можно записать следующее соотношение между длиной хорды и радиусом основания цилиндра:

Запишем теперь выражение для площади боковой поверхности цилиндра:

ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра равна 32пи кв. см