Решение дано Пользователем Safecracker Почетный грамотей
Исправлена описка в тексте.
Треугольник abc подобен треугольнику bcd по двум углам: они оба прямоугольные и угол b - общий.
Треугольник abc подобен треугольнику adc также по двум углам: оба они прямоугольные и угол а - общий.
Значит, треугольники adc и bcd также подобны между собой.
Найдем коэффициент подобия k:
k=ac/bc=5/10=1/2
Зная, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, запишем:
Sacd/Scdb=k² = ( 1/2)² = 1/4
Треугольник АВС равнобедренный, значит BD биссектриса, медиана и высота, т.е. AD = DC и ΔABD прямоугольный, а DE - его высота.
По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:
BD² = BE · AB
AD² = AE · AB
Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда
АЕ = 4х, ВЕ = 9х, а АВ = 13х.
BD = √(9х · 13х) = 3х√13
AD = √(4x · 13x) = 2x√13
AC = 2AD = 4x√13.
Так как BD + AC = 14, то
3x√13 + 4x√13 = 14
7x√13 = 14
x = 2/√13 = 2√13 / 13 см
AB = BC = 13x = 2√13 см
AC = 4x√13 = 4 · 2√13/13 · √13 = 8 см
Pabc = AB + BC + AC = 2AB + AC = 2 · 2√13 + 8 = 4(√13 + 2) см
