.Подобны ли треугольники и 111, если: = 9, = 15, = 21, 11 = 13.5,11 = 22.5,11 = 31.5? ответ обоснуйте.

В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD лежит правильный четрехугольник (квадрат) со стороной AB=BC=CD=AD= 6cм. 
Высота (SO) опущена в точку пересечения диагоналей основания. 

В прямоугольном треугольнике AOS:
∠SO = 90°
∠SAO = 45°
∠ASO = 180 - 90 - 45 = 45 (°) 
⇒ треугольник AOS - прямоугольный равнобедренный с основанием-гипотенузой AS, равными боковыми сторонами-катетами AO=SO
⇒ высота (SO) равна половине длины диагонали основания (т.к. диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам)

Длина диагонали (d) квадрата со стороной (а)
d = a√2
SO = d / 2
SO = AB * √2 / 2
SO = 6 * √2 / 2 = 3√2 (cм)

Объем пирамиды
V = 1/3 * S * h, где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды

S = AB²
S = 6² = 36 (cм²)

V = 1/3 * 36 * 3√2 = 36√2 (см³)

Т. к дана правильная четырехугольная пирамида, то в основании лежит квадрат со стороной 6 см, значит диагональ этого квадрата равна 6* корень из 2, а половина диагонали 3* корень из 2. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов, то прямоугольный треугольник, состоящий из высоты пирамиды и половины диагонали квадрата является равнобедренным. Значит высота пирамиды равна половине диагонали = 3* корень из 2. S осн=36см^2

V=1/3*S осн*h=1/3*36*3*корень из 2=36* корень из 2