Катеты 30 и 40, значит гипотенуза 50 ("египетский треугольник", полезно запомнить, 3^2 + 4^2 = 5^2); Радиус вписанной окружности считается так
r = (30 + 40 - 50)/2 = 10;
рисунок я так добавил, для красоты :)))) Из него, кстати, сразу понятно, как получается формула для r
(главное - сообразить, что CEDF - квадрат, и теперь, если обозначить AG = x, GB = y, то ПО СВОЙСТВУ КАСАТЕЛЬНЫХ К ОКРУЖНОСТИ ИЗ ОДНОЙ ТОЧКИ длины сторон будут
a = x + r; b = y + r; c = x + y;
отсюда получается, что
a + b - c = 2*r;)
Кратчайшее расстояние от точки М до окружности -перпендикуляр к касательной, проходящий через центр окружности О. По условию ОМ=17, ОК=10, тогда радиус окружности R=17-10=7. Проведём радиусы(смотри рисунок), к точкам А и В. По теореме косинусов найдём в треугольнике АОВ косинус угла А. ВОквадрат=АОквадрат+АВквадрат-2*АО*АВ*cosA. 49=49+64+2*7*8*cosA. Отсюда cosA=0,57. Также в треугольнике АОМ. ОМквадрат=АОквадрат+ АМквадрат-2*АО*АМ*cosA. 289=49 +АМквадрат-2*7*АМ*0,57. Пусть АМ=Х, тогда Хквадрат-8Х-240=0. Решая квадратное уравнение получим Х=20, то есть искомые расстояния АМ=20, ВМ=20-8=12.
