В треугольнике QRT,∠T=105° , ∠R=30° , QT = 10корень2,Найти длину RT

длина RT=105+30= 135 это длина RT

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит:

В треугольнике со сторонами a, b и c, и противолежащими им углами A, B и C соответственно, справедливо равенство:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

В нашем случае даны два угла треугольника QRT: ∠T = 105° и ∠R = 30°.
Мы хотим найти длину стороны RT.

По теореме синусов, можно записать:

RT / sin∠T = QT / sin∠R

Прежде чем продолжить, нам нужно вычислить sin∠T и sin∠R.
Для этого воспользуемся таблицей значений функции синус:

sin30° = 1/2
sin45° = √2/2
sin60° = √3/2
sin75° = √6/2
sin90° = 1

К сожалению, в нашем случае угол 105° не является особым углом, поэтому нам нужно использовать другие методы для вычисления sin105°.

Один из способов - использование тригонометрического тождества:
sin(A + B) = sinA*cosB + cosA*sinB

В нашем случае это будет выглядеть следующим образом:
sin105° = sin(60° + 45°) = sin60°cos45° + cos60°sin45°

sin60° = √3/2
cos45° = √2/2
cos60° = 1/2
sin45° = √2/2

Подставим значения и вычислим:
sin105° = (√3/2)*(√2/2) + (1/2)*(√2/2) = (√6 + √2)/4

Теперь мы имеем значения sin∠T и sin∠R.
Мы также знаем, что QT = 10корень2, поэтому можем записать:

RT / ((√6 + √2)/4) = 10корень2 / (√2/2)

Для удобства вычислений, упростим это выражение, умножив обе стороны на 4:

RT * (2(√6 + √2)) = 10корень2 * 2корень2

Упростим выражение, умножив значения в скобках и квадратных корнях:

RT * (2√6 + 2√2) = 20

RT выражен в скобках, поэтому поделим обе стороны на (2√6 + 2√2):

RT = 20 / (2√6 + 2√2)

Для упрощения этого выражения, умножим верхнюю и нижнюю части дроби на √6 - √2:

RT = (20 / (2√6 + 2√2)) * ((√6 - √2) / (√6 - √2))

Умножим числитель и знаменатель дроби:

RT = (20(√6 - √2)) / (2(√6)(√6 - √2) + 2(√2)(√6 - √2))

Упростим числитель и знаменатель:

RT = (20(√6 - √2)) / (12 - 2 + 4√3 - 2√3)

RT = (20(√6 - √2)) / (10 + 2√3)

Для окончательного решения выражения вычислим произведение (√6 - √2) и (√6 + √2):

RT = (20(√6 - √2)) / (10 + 2√3) * ((√6 + √2)/ (√6 + √2))

Поделим две квадратных скобки:

RT = (20(6 - 2))/ (10 + 2√3)

RT = (20 * 4) / (10 + 2√3)

RT = 80 / (10 + 2√3)

Итак, длина стороны RT равна 80 / (10 + 2√3).