В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол COD равен 32°. Найдите углы ODA, OAB, BOC, BOA.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Дано :
Четырёхугольник ABCD - прямоугольник.
АС∩BD = O.
∠COD = 32°.
Найти :
∠ODA = ?
∠ОАВ = ?
∠ВОС = ?
∠ВОА = ?
∠ВОА = ∠COD = 32° (так как вертикальные).
∠ВОС + ∠COD = 180° (так как смежные) ⇒ ∠ВОС = 180° - ∠COD = 180° - 32° = 148°.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.Следовательно, АО = ВО = СО = DO.
Рассмотрим ΔCOD - равнобедренный (по определению).
По теореме о сумме углов треугольника - ∠COD + ∠OCD + ∠ODC = 180° ⇒ ∠OCD + ∠ODC = 180° - ∠COD = 180° - 32° = 148°.
Учитываем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны - ∠ODC = ∠OCD = 148° : 2 = 74°.
Тогда ∠ODA + ∠ODC = 90° ⇒ ∠ODA = 90° - ∠ODC = 90° - 74° = 16°.
Рассмотрим ΔВОА - равнобедренный (по определению).
По теореме о сумме углов треугольника - ∠ВОА + ∠ОАВ + ∠ОВА = 180° ⇒ ∠ОАВ + ∠ОВА = 180° - ∠ВОА = 180° - 32° = 148°.
Учитываем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны - ∠ОАВ = ∠ОВА = 148° : 2 = 74°.
∠ODA = 16°, ∠ОАВ = 74°, ∠ВОС = 148°, ∠ВОА = 32°.
Из прямоугольного треугольника ABD
AD^2=AB^2+BD^2=9+16=25
AD=5
Площадь основания равна 2*площадь ABD=2*(3*4/2)=3*4=12
AD параллельно BC, следовательно параллельно B1C1, поэтому AD принадлежит плоскости AB1C1, и это прямая пересечения плоскости основания с плоскостью AB1C1
Пусть BE высота в треугольнике ABD
Тогда угол B1EB это угол между плоскостью основания и плоскостью AB1C1, так как BE перпендикулярно AD, B1E перпендикулярно AD по теореме о трёх перпендикулярах.
Треугольник B1EB -- прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, а следовательно, равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому B1B=BE
Чтобы найти высоту BE выразим площадь треугольника ABD двумя
площадь ABD = AB*BD/2 = AD*BE/2, отсюда
BE=AB*BD/AD=3*4/5=12/5=2,4
Площадь полной поверхности равна
2*площадь основания+площадь боковой поверхности
площадь боковой поверхности = периметр основания умножить на высоту
периметр основания = AB+BC+CD+AD=3+5+3+5=16
тогда площадь боковой поверхности 16*2,4=38,4
площадь полной поверхности
2*12+38,4=24+38,4=62,4
