У трикутнику АВС АВ = ВС на стороні АС відмітили точку К. Через точку К провели прямі, паралельні бічним сторонам трикутника. Периметр паралелограма, що утворився, дорівнює 16 см. Чому дорівнює бічна сторона трикутника?

Лучшее решение всегда  то, что проще и короче.
Но показалось интересным дать  решение несколько иное, чем первое. 
Для нахождения площади треугольника существуют разные формулы. Одна из них 
S=(a*b*sin α):2,  где а и b- стороны треугольника, α - угол между ними. 
Пусть данный треугольник - АВС
Для удобства вычисления построим  подобный ему меньший треугольник  КРМ со сторонами в 8 раз меньше сторон данного по условию, т.е. с коэффициентом подобия k=8. 
Это будет треугольник со сторонами 2, 3, 4 
По т. косинусов найдем косинус угла между сторонами длиной  2 и 4. 
3²=2²+4² -2*2*4*cos α
16 cos α =11
cos α=11/16
sin²α=1-cos²α=135/256
sin α=√(134/256)=(3√15)/16

S Δ КРМ =[2*4*(3√15)/16]:2=(3√15):4
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т.е. площадь исходного треугольника в 8 раз больше полученной. 
Площадь треугольника со сторонами 16,24,32 равна  
S Δ АВС=8²*(3√15):4=48√15

А) Опустим перпендикуляр из точки пересечения медиан на сторону ВС. Заметим, что эта высота равна данному нам  расстоянию √3см. В прямоугольном треугольнике ОВН угол ОВН=60° (дано). Значит ОВ=ОН/Sin60 или ОВ=√3*2/√3=2см. Медианы делится точкой их пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Значит ОВ =(2/3)*BD, тогда  ВD=ОВ*3/2= 3 cм.
ответ: BD=3см.
б) Если <ABD=30°, то <ABC=<ABD+<DBC=30°+60°=90°. То есть треугольник АВС прямоугольный (<В=90°), в котором медиана из прямого угла равна половине гипотенузы, то есть BD=AD=DC. Тогда треугольник DBC равнобедренный и <C=<DBC=60°.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С=60°. Значит АВ=АС*Sin60°=3√3см.
ответ: АВ=3√3см.