висота рівнобедреної трапеції дорівнює 10 см а її діагоналі взаємно перпендикулярні. знайти площу проекції даної трапеції на площину альфа, якщо кут між площиною трапеції і площиною альфа дорівнює 60 градусів.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит <ABC=<ACB=(180-<BAC)/2=(180-80)/2=50°
<АВМ=<АВС-<МВС=50-30=20°
<АСМ=<АСВ-<МСВ=50-10=40°
Рассмотрим треугольник ВМС:
 <ВМС=180-<МВС-<МСВ=180-30-10=140°.
По теореме синусов МС/sin 30=BC/ sin 140
MC=BC*sin 30/sin 140=BC/2sin (180-40)=BC/2sin 40
Если в треугольнике АВС из вершины А опустить высоту АН на основание ВС, то она же будет и медиана и биссектриса. Из полученного треугольника АНС (<НАС=80/2=40°, <АНС=90°, НС=ВС/2) по теореме синусов
НС/sin 40=АC/ sin 90
АC=BC/2sin 40
Получается, что МС=АС, значит треугольник АМС - равнобедренный
<САМ=<АМС=(180-<ACM)/2=(180-40)/2=70°.

ответ:  S=π•[(ab/(a+b)]²

Объяснение:   Обозначим трапецию АВСD, ВС||AD, СВА=ВАD=90°. ВС=а, AD=b.

      Формула площади трапеции

                          Ѕ=0,5•(а+b)•h

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности=2r ⇒

S=(a+b)•2r/2 ⇒

                          r=S/(a+b)

  Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований.  S=ab

ab=(a+b)•r ⇒ r=ab/(a+b)

S(круга)=πr²

S=π•[(ab/(a+b)]²

                          *  *  *

Несложно доказать, что в такой трапеции  S=ab, если соединить вершины С и D с центром окружности и выразить r=высоту прямоугольного ∆ СОD из произведения отрезков касательных, но это уже другая задача.

                       *  *  *

  Задачу можно решить и другим

  Если в четырехугольник вписана окружность. суммы длин его противоположных сторон равны.

Тогда АВ+CD=a+b. В прямоугольном треугольнике СНD по т.Пифагора СН²=СD²-DH²

CH=2r, HD=AD-BC=b-a, а CD=a+b-2r. Найденный  радиус также будет ав/(а+в)