ДУЖЕ ТЕРМІНОВО,БУДЬ ЛАСКА,ДО І

Ладно, это одна из "любимых" тем - тетраэдр, вписанный в куб. Я напишу решение, но вам придется разбираться и оформлять самостоятельно.
а)
     Фигура ACB1B - правильная треугольная пирамида. В основании её равносторонний треугольник ACB1: AC = AB1 = CB1 (диагонали граней куба), и боковые ребра равны между собой BA = BC = BB1; (это просто стороны куба). Это означает, что точка B проектируется на плоскость ACB1 в центр треугольника ACB1 - точку O. (ну, у равностороннего треугольника все центры совпадают, можете выбирать, какой именно центр, но по логике это центр описанной окружности). То есть, BO перпендикулярно плоскости ACB1.
     Фигура ACB1D1 - тоже правильная треугольная пирамида, причем у неё равны между собой все ребра (все ребра этой пирамиды - диагонали граней куба). Поэтому D1O перпендикулярно плоскости ACB1; (аналогично предыдущему абзацу).
     Поскольку через точку O можно провести только один перпендикуляр к плоскости ACB1, точки B, O, D1 лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскости ACB1, что и требовалось доказать.
б)
Легко видеть, что прямая C1D перпендикулярна плоскости A1D1C (в этой плоскости еще и точка B лежит), потому что C1D перпендикулярна D1C и A1D1 (A1D1 перпендикулярная грани CC1D1D). Точно также прямая A1D перпендикулярная плоскости AD1C1 (тоже, кстати, проходящей через точку B).
Поэтому (внимание! это - решение!) угол между плоскостями равен углу между прямыми  A1D и C1D.
Поскольку треугольник A1DC1 - равносторонний, искомый угол равен 60°

Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки гипотенузы, на которые ее делит высота, т.к. высота - перпендикуляр к прямой ( гипотенузе), а катеты – наклонные из вершины прямого угла.  

Катет - среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на неё .

В треугольнике на рисунке приложения  

Катет Вс=30 см, а ВН=18 - его проекция на гипотенузу.  

BC²=АВ•НВ

900=АВ•18

АВ=900:18=50 см

Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на подобные. Из подобия следует отношение:

АН:АС=АС:АВ

АН=50-18=32

32:АС=АС:50 ⇒  АС²=32•50    

АС=√1600=40 см

Если обратить внимание на отношение катета и гипотенузы 3:5 в ∆ ВСН, увидим, что этот треугольник - египетский. Отсюда следует АВ=50 см, (т.к. меньший катет=30). а АС=40 см. Получим длины сторон треугольника, отношение которых  3:4:5.

Объяснение: