) На сторонах трикутника MАT позначено точки Niн так, мм = MA, MH = -мт. Доведіть, що дмNH - AMAT
MN = МАМН МТ
ДМАТ
1
4

В данной пирамиде в основании лежит правильный шестиугольник. В нём АВ║СF, значит угол между СО и плоскостью SBC такой же, как и между стороной АВ и той же плоскостью.
SM - апофема грани SBC, OK⊥SM, SM∈SBC, значит СК⊥ОК.
Тр-ник СКО прямоугольный, значит ∠КСО - угол между СО и плоскостью SBC.
Тр-ник ВОС равносторонний. СО=ВС=1.
ОМ - высота правильного тр-ка. ОМ=а√3/2=ВС√3/2=√3/2.
В тр-ке SMB BM=BC/2=0.5. SM=√(SB²-BM²)=√(4-0.25)=√3.75.
В тр-ке SMO cosM=OM/SM=√3/(2√3.75).
sin²M=1-cos²M=1-3/15=12/15.
В тр-ке ОКМ ОК=ОМ·sinM=√3·√12/(2√15)=3/√15=√15/5.
В тр-ке СКО sin(КСО)=КО/СО=√15/5.
∠КСО=arcsin√15/5≈50.8° - это ответ.

АС и B1D1 - это скрещивающиеся диагонали противоположных граней (оснований), поэтому расстояние между ними равно высоте призмы (или боковым ребрам). 

ВВ1 = 5;

Что касатеся основного вопроса задачи, то ответ лежит на поверхности. Нужно найти угол (косинус) между плоскостями, перпендикулярными ВD1 и ВВ1 (это - плоскость основания :)). Поскольку эти прямые пересекаются в точке В, нужный угол очевидно равен углу D1BB1 - как бы не была расположена плоскость сечения и как бы не был построен искомый линейный угол двугранного угла, его стороны будут перпендикулярны сторонам угла D1BB1 .

Осталось найти диагональ BD1

BD1^2 = 12^2 + 31 + 5^2  = 200; BD1 = 10√2;

cos(угол D1BB1) = В1В/D1B = 5/(10√2) = √2/4;