Дано: AD = BC, AB = CD. Доказать: 2B = 2D.

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться аналитической геометрией и решить задачу с помощью координат.

Предположим, что координаты точек А, В, С и D следующие:
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4).

Так как AB = CD, то расстояние между точками A и B равно расстоянию между точками C и D. Для нахождения расстояния между двумя точками можно использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
CD = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2)

Поскольку AB = CD, то мы можем записать следующее равенство:

√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2)

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = (x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2

Также, по условию задачи, AD = BC. Расстояние между точками A и D можем выразить с помощью формулы:

AD = √((x4 - x1)^2 + (y4 - y1)^2)

Расстояние между точками B и C можем выразить аналогичным образом:

BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)

По условию задачи, AD = BC, поэтому:

√((x4 - x1)^2 + (y4 - y1)^2) = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(x4 - x1)^2 + (y4 - y1)^2 = (x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2

Раскрываем скобки:

x4^2 - 2x4x1 + x1^2 + y4^2 - 2y4y1 + y1^2 = x3^2 - 2x3x2 + x2^2 + y3^2 - 2y3y2 + y2^2

Дальше, поскольку AB = CD, то AB - CD = 0. Используем это равенство:

(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 - (x4 - x3)^2 - (y4 - y3)^2 = 0

Раскрыть скобки и упростить уравнение:

x2^2 - 2x2x1 + x1^2 + y2^2 - 2y2y1 + y1^2 - x4^2 + 2x4x3 - x3^2 - y4^2 + 2y4y3 - y3^2 = 0

Теперь у нас есть два уравнения:
1) x4^2 - 2x4x1 + x1^2 + y4^2 - 2y4y1 + y1^2 = x3^2 - 2x3x2 + x2^2 + y3^2 - 2y3y2 + y2^2
2) x2^2 - 2x2x1 + x1^2 + y2^2 - 2y2y1 + y1^2 - x4^2 + 2x4x3 - x3^2 - y4^2 + 2y4y3 - y3^2 = 0

Добавим обе стороны уравнения (2) к обеим сторонам уравнения (1):

2x4x3 - 2x3x2 + 2y4y3 - 2y3y2 = 0

Делим обе части уравнения на 2:

x4x3 - x3x2 + y4y3 - y3y2 = 0

Но по условию AD = BC, поэтому мы можем записать следующее равенство:

x4x3 - x3x2 + y4y3 - y3y2 = 0

Теперь мы можем выразить 2B и 2D с помощью координат.
По определению, точка B имеет координаты (x2, y2), значит 2B будет иметь координаты (2x2, 2y2).
Аналогично, точка D имеет координаты (x3, y3), поэтому 2D будет иметь координаты (2x3, 2y3).

Так как x4x3 - x3x2 + y4y3 - y3y2 = 0, то 2B = 2D, что и требовалось доказать.