7.(2б)
Найти угол между стороной AB и медианой BB₁ треугольника ABC :
A(3; 5; 0) , B(0 ; - 6; 0) , C(3 ;1 ;0) . AB₁=CB₁ = AC/2 = 2
∠ABB₁ -?
- - - - - - - - - - --
B₁ (3 ; 3; 0) _середина стороны AC * * * (3+3) /2 ; (5+1)/2 ; (0+0)/2 * * *
BA { 3 ; 11 ; 0 } * * * 3 -0 ; 5 -(-6) ; 0 -0 * * *
BB₁ { 3 ; 9 ; 0 } * * * 3 -0 ; 3 -(-6) ; 0 -0 * * *
cos(∠(BA, BB₁) ) = BA*BB₁ / |BA|*|BB₁| =
(3*3+11*9 +0*0)/√(3²+11²+0²)*√(3²+9²+0²) =108/√130*√90 =
108/ 30 √13 =3,6 / √13 .
* * * ! 3,6 /√13 =(√3,6²) /√13 =√12,96 /√13 < 1 * * *
∠(BA, BB₁) =arccos(3,6 /√13 )
BA*BB₁ - скалярное произведение векторов BA и BB₁
|BA| и |BB₁| - модули векторов BA и BB₁
- - - - - - - -
8.(2б)
B(2 ; - 1; - 1) , A(2 ; 2 ; - 4) , C(3 ; - 1 ; -2) ,
BA { 0 ; 3 ; -3} ; BC { 1 ; 0 ; - 1}
cos(∠(BA, BC) ) = BA*BB / |BA|*|BC|
BA*BC - скалярное произведение векторов BA и BC
|BA| и |BC| - модули векторов BA и BC
* * * ∠(BA, BC) = ∠B * * *
cos∠B = cos(∠(BA, BC) )= (0*1+3*0 + (-3)*(-1) )/√(0²+3²+(-3)² )*√(1²+0²+(-1)²) =
3/√18*√2 = 3/6 =1/2 ⇒ ∠B =60 °
Внешний угол при вершине B будет 180° - ∠B = 180° - 60 ° = 120°
- - - - - - - -
9.(2б) Центр сферы A(4 ; -4 ; 2) , O(0 ; 0 ;0) ∈ поверхности сферы
* * *(x - x₀)²+(y - y₀)²+ (z - z₀)² = R² уравнение сферы радиусом R , центр которой в точке A( x₀; y₀ ; z₀) * * *
(x - 4)²+(y +4)²+ (z -2)² = R² Нужно найти R
Т.к. O(0 ; 0 ;0) ∈ поверхности сферы ,то
(0 - 4)²+(0 +4)²+ (0 -2)² = R² ⇔ R² =36
следовательно
(x - 4)²+(y +4)²+ (z -2)² = 36 * * * R² =6² * * *
1-ый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (Теорема 3.1. – Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - Если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть у треугольников АВС и А1В1С1 угол А равен углу А1, АВ равно А1В1, АС равно А1С1, докажем, что треугольники равны.
Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.
Так как А1В1 равно А1В2, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С1 равен углу В2А1С2, то луч А1С2 совпадет с А1С1. Так как А1С1 равен А1С2, то С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.
Теорема доказана.
2-ой признак равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (Теорема 3.2. - Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - Если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.
Пусть А1В2С2 – треугольник, равный АВС, с вершины В2 на луче А1В1 и вершины С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1.
Так как А1В2 равно А1В1, то вершина В2 совпадет с В1. Так как угол В1А1С2 равен углу В1А1С1, и угол А1В1С2 равен углу А1В1С1, то луч А1С2 совпадет с А1С1, а В1С2 совпадет с В1С1. Отсюда следует, что вершина С2 совпадет с С1. Значит треугольник А1В1С1 совпадает стреугольниом А1В2С2, значит равен треугльнику АВС.
Теорема доказана.
3-ий признак равенства треугольников: по трем сторонам ( Теорема 3.6. - Признак равенства треугольников по трем сторонам - Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)
Доказательство:
Пусть АВС и А1В1С1 – два треугольника, у которых АВ равно А1В1, АС равно А1С1, и ВС равно В1С1. Докажем, что они равны.
Допустим, треугольники не равны. Тогда у них угол А не равен углу А1, угол В не равен углу В1, и угол С не равен углу С1. Иначе они были бы равны, по перовому признаку.
Пусть А1В1С2 – треугольник, равный треугольнику АВС, у которого Свершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой А1В1.
Пусть D – середина отрезка С1С2. Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 – равнобедренные с общим основанием С1С2. Поэтому их медианы А1D и В1D – являются высотами, значит прямые А1D и В1D – перпендикулярны прямой С1С2. Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А1, В1, D не лежат на одной прямой, но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.
