В треугольнике проведена высота, медиана и биссектриса. найдите углы ( отрезки ), равенство которых вам известно ( и обратные задачи ) НАДО С РИСУНКОМ

в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

трапеция - четырехугольник, следовательно,   если в неё можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. 

сумма оснований данной трапеции 3+5=8, а её средняя линия равна 4 

пусть длина меньшего основания а . тогда длина большего - 8-а.

средняя линия трапеции делит саму трапецию на две меньшего размера, высоты каждой из которых равны половине высоты исходной. 

площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. 

пусть высота каждой части трапеции равна h. 

тогда площадь верхней трапеции будет  (а+4)•h: 2,  

а площадь большей (8-а+4)•h: 2=(12-а)•h: 2

по условию отношение этих площадей равно 5/11⇒

[ (а+4)•h: 2]: [ (12-а)•h: 2]=5/11

отсюда 60-5а=11а+44

16а=16

а=1

подробнее - на -

Определение: "Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую".
Если из двух ЛЮБЫХ точек, находящихся по одну сторону от прямой, на прямую опущены перпендикуляры, и они равны, то прямая, соединяющая эти две точки, параллельна данной прямой, так как фигура, образованная этими прямыми и перпендикулярами - прямоугольник. Противоположные стороны прямоугольника параллельны.
Поэтому, соединив данное множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, мы получим прямую, параллельную данной. Что и требовалось доказать.