Пункт 18,19,20. И с рисунком

Треугольник АВС, AB = 12, AC = 10, BC = 14, высота СН.
По теореме косинусов
cos <BAC = (AB²+AC²-BC²)/(2AB*AC)=(144+100-196)/(2*12*10)=1/5.
Из прямоугольного треугольника AHC находим АH = AC *cos<AC = 10*1/5 = 2. существует ровно два случая расположения точки М на стороне АС:
 1) <AHM = <ABC.  
Тогда НM||BC, Δ AHM подобен ΔАBC с коэффициентом AH:AB = 2/12 = 1/6, следовательно, HM = BC * 1/6 = 14 * 1/6 = 7/3.
2) <AHM = <АCB.
Тогда ΔАMH подобен ΔABC с коэффициентом AH:AC = cos <ВAC = 1/5,
следовательно, HM = BC * 1/5 = 14*1/5 = 14/5.
ответ: 7/3 и 14/5

Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Докажем, например, что параллельны AD и BC (другая пара сторон рассматривается аналогично)
Заметим, что треугольники AOD и BOC равны (AO = OC и BO = OD по условию, углы AOD и BOC равны, поскольку они вертикальные). Тогда равны углы OAD и OCB, но они - внутренние накрест лежащие при прямых AD и BC и секущей AC. По признаку AD и BC параллельны.

Спойлер: доказательство этого факта можно найти в любом учебнике геометрии.