Трапеция АВСД, если в трапецию вписана окружность, то такая трапеция равнобокая,
АВ=СД, точка М -касание окружности на АВ, точка Н - касание на ВС, точкаР - касание на СД. точка К -касание на АД
АМ=b, BM=a
АМ=АТ=b - как касательные проведенные из одной точки = ДК=ДР =b, угол А=уголД
уголВ=уголС, ВМ=ВН=СН=СР=а - как касательные, ВС=ВН+СН=а+а=2а, АД = АК+ДК=
=b+b=2b, АВ=СД=b+а
проводим высоты ВТ и СЛ на АД, треугольники АВТ и ДСЛ равны как прямоугольные треугольники по гипотенузе (АВ=СД) и острому углу (уголА=уголД). четырехугольник ТВСЛ - прямоугольник ВС=ТЛ =2а, АТ=ДЛ = (АД-ВЛ)/2= (2b-2а)/2=b-а
треугольник АВТ прямоугольный, ВТ - высота=диаметр вписанной окружности =
корень (АВ в квадрате - АТ в квадрате) = (b+а) в квадрате - (b-а) в квадрате = 4аb
радиус = высота/2 = 4аb/2=2аb
Извини за не очень ровный рисунок)
Итак, пусть угол АВС будет х гр. Тогда угол ВАК будет тоже х гр. (как внутренние разносторонние, при параллельных прямых ДК и СВ и сечной АВ), аналогично угол ВСЛ тоже х гр (при параллельных прямых ДЛ и АВ и сечной ВС). В треугольнике ВКА угол АВК будет 90-х градусов ( прямоугольный треугольник, ВК перпендикулярно ДЛ). Аналогично в прямоугольном треугольнике ВЛС ( ВЛ перпендикулярно ДЛ) угол ЛВС будет 90-х градусов. В задаче сказано, что угол между высотами ( угол ЛВК) в 4 раза больше угла В. Значит угол ЛВК будет 4х. Поскольку этот угол состоит из трёх углов (ЛВС,СВА и КВА) то
90-х+х+90-х=4х
180-х=4х
5х=180
х= 36
Значит,угол В=36 гр. Значит угол А= 180 - 36= 144 гр.
ответ: 36 гр. 36 гр. 144 гр. 144гр.
