При параллельной транспортировке точка A (-3; 4) переходит в точку A1 (7; 3). Транспортны переходит в точку B (0.5) в такой точке

Надо вычислить расстояния между точками, и проверить, возможно ли построение треугольника (сумма любых двух расстояний больше третьего).
AB = √((1-2)²+(1-3)²+(1-4)²) = √(1+4+9)=√14 ≈ 3,742
AC = √((1-4)²+(1-3)²+(1-2)²) = √(9+4+1)=√14
BC =  √((2-4)²+(3-3)²+(4-2)²) = √(4+0+4)=√8  ≈ 2,828
Треугольник построить можно
√14 + √14 > √8
√14 + √8 > √14

Медиана BM
Точка M - среднее арифметическое точек А и С
М = 1/2 ((1,1,1)+(4,3,2)) = 1/2(5;4;3) = (5/2;2;3/2)
|ВМ| =  √((2-5/2)²+(3-2)²+(4-3/2)²) = √(1/4+1+25/4)=√((1+4+25)/4) = √30/2

угол при вершине В можно найти по теореме косинусов
√14² = √14²+√8²-2√14√8·cos(B)
2√14√8·cos(B) = 8
2√14·cos(B) = √8 
√7·cos(B) = 1
cos(B) = 1/√7
B = arccos (1/√7)

Треугольник АМВ будет прямоугольным, если углы между векторами МA и МB,или AM 
и АВ, или ВМ и ВА будет прямыми.
Координаты точек:A(1;3;2),  B(-1;3;-4),  М(Мх;0;0). 
Цитата:"Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их 
скалярное произведение равно нулю".
Проверим возможность перпендикулярности векторов МА и МB (вершина в точке М). 
Найдем координаты векторов (координаты вектора находятся, как разность 
координат КОНЦА и НАЧАЛА вектора): МА{(1-Mx);3;2}, и MB{(-1-Mx);3;-4}.Их скалярное произведение (сумма произведений их соответствующих координат): 
(1-Мх)*(-1-Мх)+(3*3)+(2*(-4)) = -1+Мх-Мх+Мх²+1=Мх².
По условию перпендикулярности: Мх²=0. Мх=0. То есть вершина М лежит на оси 0Х при координатах: М(0;0;0). 
Проверим возможность перпендикулярности векторов АМ и АВ (вершина в точке А). 
Координаты векторов АВ{-2;0;-6},  АМ{(Mx-1);-3;-2}.  
Их скалярное произведение: (Мх-1)*(-2)+0+12 = -2*Mx+2+12 =-2*Mx+14.
По условию перпендикулярности:-2*Mx+14=0.  Отсюда Мх=7.  
Проверим возможность перпендикулярности векторов BМ и BA (вершина в точке В).  
Координаты векторов BA{2;0;6},  BМ{(Mx+1);-3;4}  
Их скалярное произведение: (Мх+1)*2+0+24 = 2*Mx+26.   
По условию перпендикулярности: 2*Mx+26=0. Отсюда Mx=-13.
ответ: М(0;0;0), M(7;0;0) и М(-13;0;0)