а) Доказательство:
АВ = ВМ, по условию, значит треугольник АВМ - равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника угол ВАМ = углу ВМА.
По свойству параллелограмма ВС параллельно АD, АС - секущая, значит угол АМВ = углу МАD, из вышесказанного следует, что угол ВАМ = углу МАD, значит АМ - биссектрисса
б) Решение:
АВ = СD по свойству параллелограмма,а АВ = ВМ из доказательства. Значит АВ = ВМ = СD = 8 см
МС = 4 по условию. ВС = ВМ + МС = 8 + 4 = 12. По свойству параллелограмма ВС = АD = 12
теперь можем найти площадь: Р = АВ + ВС + СD + DА = 8 + 12 + 8 + 12 = 40 см
Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,
AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.
Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:
AB^2=AH^2+BH^2, звідси
Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні CD=AB=13 см.
Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).
Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.
У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.
Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.
Тоді у рівнобічній трапеції:
HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.
Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:
P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.
Відповідь: 48 см – В.
