Составьте задачу в соответствии с рисунком 7 и решите ее только a

Пусть угол BAC = α

∠ABC + ∠ACB = 180° - α

∠IBC + ∠ICB = (180° - α)/2 = 90° - α/2 (т.к. центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис)

∠BIC = 180° - (∠IBC + ∠ICB) = 180° - 90° + α/2 = 90° + α/2

∠BKC = 180° - ∠BIC = 180° - 90° - α/2 = 90° - α/2 (сумма противоположных углов четырехугольника вписанного в окружность равна 180°)

∠BOC - центральный углу ∠BKC => ∠BOC = 2*∠BKC = 2*(90° - α/2) = 180° - α

т.к. ∠BAC + ∠BOC = α + 180° - α = 180°, то около ABOC можно описать окружность, но это та же окружность, которая описана около треугольника АВС и на ней лежит точка О. Что и требовалось доказать

ответ: доказано.

1) Один очень лёгкий: координаты точки пересечения медиан равны среднему арифметическому координат вершин.

А(-2;3;-6), B(-3;5;2), C(5;1;6),

x(O) = (-2-3+5)/3 = 0.

y(O) = (3+5+1)/3 = 3,

z(O) = (-6+2+6)/3 = 2/3.

Второй основан на свойстве точки пересечения медиан - она делит медиану в отношении 2:1 от вершины.

Находим координаты точки А1 как середины ВС:(B(-3;5;2)+ C(5;1;6))/2.

Точка А1 (середина ВС)  

a1x     a1y       a1z

1          3         4.

Поделим отрезок АА1 в отношении 2:1. А(-2;3;-6), А1(1; 3; 4).

АА1 = (3; 0; 10)

|AA1| = 10,44030651, квадрат 109.

x(О) = xА + (2/3)(АА1) = -2+((2/3)*3) = 0,

y(О) = yА + (2/3)(АА1) = 3+((2/3)*0) = 3,

z(О) = zА + (2/3)(АА1) = -6+((2/3)*10) = (-18+20)/3 = 2/3.

2) Дано: A(3;4;0), B(-4;2;0), C(6;5;0).

Находим центр как точку пересечения медиан.

x(O) = (3-4+6)/3 = 5/3,

y(O) = (4+2+5)/3 = 11/3,

z(O) = 0.

О((5/3; (11/3); 0), D(2;3;8).

Вектор ОД = ((1/3); (-2/3); 8).

Н = √((1/3)² + (-2/3)² + 8²) = √(1/9) + (4/9) + 64) = √581/3 ≈ 8,034647.