19.12. Докажите, что отрезки AB и CD общих внутренних касатель- ных к двум окружностям (рис. 19.9) равны. А D В С Р

1) Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Прямоугольник является параллелограммом, поэтому квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом, следовательно, квадрат обладает всеми св-вами прямоугольника и ромба.
Св-ва квадрата:
1. Все углы квадрата прямые.
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

2) Две точки А и А1 называются симметричными относительно данной прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Точки A(-3;4;7) и B(1;-2;3), симметричные относительно плоскости альфа, лежат на векторе, перпендикулярном заданной плоскости.
Вначале определяем координаты вектора АВ.
АВ = (1-(-3); (-2)-4; 3-7) = (4; -6; -4).
                                          (А   В   С)
Для составления уравнения плоскости используем формулу:

A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

За нулевую точку примем точку А.

Подставим данные и упростим выражение:

4(x - (-3)) + (-6)(y - 4 )+ (-4)(z - 7) = 0.

 общее уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0 ,

где D = −Ax0 − By0 − Cz0 = -4*(-3)-(-6)*4-(-4)*7 = 12+24+28 = 64 .

4x - 6y - 4z + 64 = 0

После сокращения на 2 получаем уравнение:

2x - 3y - 2z + 32 = 0.