Из прямоугольного треугольника ABD
AD^2=AB^2+BD^2=9+16=25
AD=5
Площадь основания равна 2*площадь ABD=2*(3*4/2)=3*4=12
AD параллельно BC, следовательно параллельно B1C1, поэтому AD принадлежит плоскости AB1C1, и это прямая пересечения плоскости основания с плоскостью AB1C1
Пусть BE высота в треугольнике ABD
Тогда угол B1EB это угол между плоскостью основания и плоскостью AB1C1, так как BE перпендикулярно AD, B1E перпендикулярно AD по теореме о трёх перпендикулярах.
Треугольник B1EB -- прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, а следовательно, равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому B1B=BE
Чтобы найти высоту BE выразим площадь треугольника ABD двумя
площадь ABD = AB*BD/2 = AD*BE/2, отсюда
BE=AB*BD/AD=3*4/5=12/5=2,4
Площадь полной поверхности равна
2*площадь основания+площадь боковой поверхности
площадь боковой поверхности = периметр основания умножить на высоту
периметр основания = AB+BC+CD+AD=3+5+3+5=16
тогда площадь боковой поверхности 16*2,4=38,4
площадь полной поверхности
2*12+38,4=24+38,4=62,4
4) Примем угол А=а, угол В=b
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒
в ∆ АДС ∠АCD=∠CAD=а.
По условию СD=АD, а СD - медиана, и АD=ВD, ⇒ СD=ВD.
∆ ВDС равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠ВСD=∠СВD=b
Из найденного следует: угол С=а+b
Сумма углов треугольника 180°
Угол А+угол С+угол В=180° ⇒
а+b+a+b=180°
2a+2b=180°⇒
a+b=90° - угол С=а+b=90°
(Полезно помнить: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой проведена, этот треугольник – прямоугольный).
======
5) В ∆ АОС отрезок ОF перпендикулярен АС⇒ ОF – высота, а т.к. ∆ АОС равнобедренный (АО=ОС – дано), то ОF - медиана. ∆ АВF=∆ BCF– они прямоугольные с равными катетами: АF=FC (доказано), и ВF - общий, ⇒ АВ=ВС.
В равнобедренном ∆ АВС отрезок ВF- не только высота, но и медиана и биссектриса. Расстояние от точки до прямой - длина проведенного перпендикулярно к прямой отрезка.
Треугольники ВКО и ВМО прямоугольные с общей гипотенузой ВО и равным острым углом при В. Эти треугольники равны по углу и гипотенузе. Следовательно. ОМ=ОК=4.
≈≈≈≈≈≈≈≈
6) Медиана AF делит ВС на равные отрезки. BF=CF⇒
DF - медиана ∆ BDC и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы
DF=ВС:2=5 (ед. длины)
======
8) Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒
угол САВ=90°-34°=56°
Медиана СМ делит ∆ АВС на равнобедренные: ∆ АМС с углами при АС, равными 56°, и ∆ ВМС с углами при ВС, равными 34°.
Угол АСН=90°-56°=34°
∠НСМ=∠АСМ -∠АСН.
Угол НСМ=56°-34°=22°
