Точка M, равноудалена от вершин треугольника ABC, поэтому она лежит на перпендикуляре к (ABC), который восстановлен из центра (O) описанной около ΔABC окружности. Треугольник со сторонами 6, 8, 10 является египетским (10²=6²+8²), поэтому ∠B=90°, а значит центр описанной лежит на середине AC. И её радиус равен AC:2=10:2=5.
Как было сказано ранее MO⊥(ABC).
Рассмотри прямоугольный ΔAOM (∠O=90°): AO=5; AM=13. Найдём второй катет MO (расстояние от M до α) по теореме Пифагора (хотя тут опять Пифагорова тройка 5, 12, 13).
MO=√(13²-5²) = √((13+5)(13-5)) = √(18·8) = √(3²·4²) = 12
ответ: 12.
ТЕОРЕМА.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между пропорциональными сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Вот наши треугольники - большой ABC и маленький A1B1C1. У них длины боковых сторон составляют пропорцию: АВ/A1B1 = ВС/B1C1. Также углы ∟B и ∟B1 равны - они отмечены двойной дужкой. И нам надо доказать, что маленький и большой треугольники подобны.
Как и при доказательстве первого признака, отложим на стороне АВ отрезок KB = А1В1 и проведём КР параллельно АС. Отсёкся ▲КВР~▲АВС. Для подобных треугольников составим пропорцию из сходственных сторон: AB/KB = BC/BP. Теперь видим, что три члена одной пропорции равны трём членам другой пропорции, а именно AB, BC и сторона-звёздочка. Стало быть, и четвёртые члены равны, то есть B1C1 = BP. Это значит, что отсечённый треугольник равен меньшему по первому признаку. Значит, меньший треугольник, как и отсечённый, подобен большому: ▲A1B1C1~▲ABC. ЧТД.
