Обозначим :
Н - высота пирамиды
h - высота основания пирамиды
r -радиус окружности, вписанной в основание
а - сторона основания
Решение
а) высота пирамиды Н = L· sinβ
б) проекция апофемы на плоскость основания -это радиус вписанной окружности r = L · cosβ.
в) сторона основания пирамиды а = 2r/tg 30° = 2L· cosβ/(1/√3) =
= 2√3 · L·cosβ
г) площадь основания пирамиды Sосн = 0.5h·a, где h = a·cos30°.
Тогда Sосн = 0.25a²·√3 = 0.25 · √3 · (2√3 · L·cosβ)² = 3√3L² · cos²β
д) Площадь боковой поверхности пирамиды
Sбок = 3 · 0,5 · L · a = 1.5L · 2√3 · L·cosβ = 3√3 · L² · cosβ
e) площадь полной поверхности пирамиды:
Sполн = Sосн + Sбок = 3√3 · L² · cos²β + 3√3 · L² · cosβ =
= 3√3 · L² · cosβ · (cosβ + 1)
Подробнее - на -
Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=12, высота=медиане = ВН, АН=СН = 12/2=6
АВ=АС=а,
Периметр = а+а+12=2а+12, полупериметр=(2а+12)/2 = а+6
радиус= площадь/полупериметр
площадь = радиус х полупериметр = 3 х (а+6) = 3а+18
ВН = корень(АВ в квадрате - АН в квадрате) = корень(а в квадрате - 36)
площадь = 1/2АС х ВН = 6 х корень(а в квадрате - 36)
приравниваем площади
3а+18 = 6 х корень(а в квадрате - 36) - возводим две части в квадрат
27а в квадрате - 108а -1620=0
а = (108+- корень(11664+ 4 х 27 х 1620) ) / 2 х 27
а= (108+- 432) / 54
а = 540/54 =10 = АВ=АС
высота ВН = корень(100-36) = 8
площадь = 1/2 х 12 х 8 = 48
