Через точку К проведено прямі А1А2 і В1В2 , що перетинають паралельні площини α і β у точках А1, А2, В1 і В2 відповідно. Знайдіть КВ1, якщо А1А2=4, КВ2=15, а КА1=В1В2.

A
B
C
K
H
a
Решение :

Пусть ABC – заданный равнобедренный треугольник. АВ=16 см – его основание, которое лежит на плоскости a . СН=6 см – расстояние от вершины С до плоскости a. Проекции боковых сторон треугольника АС и ВС, отрезки АН и ВН соответственно, образуют угол 90°.
Так как АСВ – равнобедренный, то и АНВ – тоже равнобедренный, АН=ВН. Кроме того, в нём АНВ=90° по условию.
Строим СК – искомую высоту АСВ. Она одновременно является его медианой, значит АК=ВК=0,5*АВ=0,5*16=8 см. Проекция СК на плоскость a - НК является медианой равнобедренного АНВ, а следовательно одновременно его высотой и биссектрисой. Тогда, АНК=ВНК=0,5*90=45°. В АНК: АНК=45°, НКА=90° следовательно, КАН=45°. Таким образом, АНК – равнобедренный, в нём НК=АК=8 см.
Рассмотрим прямоугольный СНК (СНК=90° - по условию). Из него имеем: СК2=СН2+НК2=62+82=100, откуда СК=10 см.

ответ: Высота заданного треугольника СК=10 см.

1. Пусть х (м) - основание,
Тогда 12 х (м) - боковая сторона
Известно, что Р=10 м.
Уравнение:
х+12 х+12 х=10 м
25 х=1000 см
х=1000:25 
х=40 см
ответ: основание треугольника = 40 см = 0,4 м.
2. Пусть х (см) -  одна сторона
Тогда (х+6) (см) - вторая сторона
Известно, что периметр = 60 см
(х+6) + (х+6) + х + х = 60
4 х = 60 - 12 
4 х = 48
х = 48 : 4
х = 12 (см) - одна сторона.
12 см + 6 см = 18 см - вторая сторона. 
S = 18 см * 12 см =
ответ: S = 
3. 34 - (15 + 15) = 4 (см) - две другие стороны.
4 : 2 = 2 (см) -другая сторона.
ответ: другая сторона прямоугольника = 2 см.
4. Пусть х (см) - одна сторона.
Тогда (5+х) (см) - другая сторона.
Известно, что P = 42 см.
Уравнение:
х + х + (5+х) + (5+х) = 42 
4 х = 42 -10
х = 32 : 4
х = 8 (см) - одна сторона.
8 см + 5 см = 13 см - другая сторона. 
S = 8 * 13 =  
ответ: S =