Плоскость а пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках B1 и C1 соответственно, причем AC1:C1C=3:2 иB1C1=5см. Найдите длину отрезка BC, если прямая BC и плоскость параллельны.

1) Вначале рассмотрим тр-ки АВК и ДВМ. Они прямоугольные, т. к. ВК и ВМ - перпендикуляры по условию.
АВ=ВС - у ромба все стороны равны между собой.
Угол А = углу С - как противоположные углы ромба.
Значит тр-ки равны по гипотенузе и острому углу.
В равных тр-ках соответственные стороны равны, т. е. ВК=ВМ. АК=МС
2) Теперь рассмотрим тр-ки КВД и ДВМ.
Они прямоугольные, ВД - общая сторона.
ВК=ВМ из п. 1. Значит тр-ки равны по гипотенузе и катету.
Отсюда КД=ДМ. А против равных сторон в равных тр-ках лежать равные углы, т. е. угол КВД=углуДВМ. Вывод ВД - луч, который разделил угол КВД на два равных угла, т. е. ВД-биссектриса, ч. т. д.

Свойство пересекающихся хорд: 
Произведения длин отрезков, на которые разбита точкой пересечения каждая из  хорд, равны. 
Пусть это будут хорды АВ и СМ, Е -точка их пересечения.  
АЕ=ВЕ, СЕ=3, МЕ=12 
Сделаем рисунок. Соединим А и М, С и В.  
Рассмотрим получившиеся треугольники АЕМ и ВЕС 
Они имеют два угла, опирающихся на одну и ту же дугу, следовательно, эти углы равны. Третий их угол также равен. ⇒
Треугольники АЕМ и ВЕС подобны  
Из подобия следует отношение: 
АЕ:СЕ=МЕ:ВЕ 
АЕ*ВЕ=СЕ*МЕ 
Так как АЕ=ВЕ, то 
АЕ²=3*12=36 
АЕ=√36=6, 
АВ=2 АЕ=12 см