в треугольнике авс провели биссектрису аа1 и сс1 которые пересекаются в точке I оказалось чтот угол AIC равен 2ABC

точка А удалена от плоскости на 8 см - это перпендикуляр (H) к плоскости

расстояние от точки А до всех вершин 10 см - это наклонная (n)

проекция наклонной - это 2/3 медианы(m) равностороннего треугольника

по теореме Пифагора

(2/3m)^2 = n^2 - H^2 = 10^2 - 8^2 = 36

(2/3m)^2 = 36

2/3*m = 6

m = 9 см

медиана - она же высота в равностороннем треугольнике

все углы равны в равностороннем треугольнике

тогда сторона в равностороннем треугольнике a = m / sin60 

площадь треугольника  

S =1/2*a^2*sin60 = 1/2 *(m / sin60)^2 *sin60 =1/2*9^2 /sin60=27√3 см2

ответ 27√3 см2

Соединим точки M и N прямой. Треугольники CMN и САВ подобны по второму признаку подобия: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны".
У нас ВС/NC=12/9 и AC/MC=16/12 (дано), то есть BN/NC=AC/MC=4/3, а угол С, образованный этими сторонами, общий.
Из подобия треугольников имеем:
<CNM=<CBA, а это соответственные углы при прямых MN и АВ и секущей СВ. Следовательно, по признаку параллельности, прямые АВ и MN параллельны, что и требовалось доказать.