На рисунку зображено тетраедр SABC I точку М, що лежать на його ребрі SA. а) Побудуйте переріз тетраедра SABC площиною, яка проходить через пряму ВС і точку М;
б) знайдіть площу одержаного перерізу, якщо SM=AM, a всі ребра тетраедра дорівнюють 8✓3 см.

Варіант 2

Сначала построим линию пересечения плоскости основания и плоскости А1С1Е. Это прямая а, параллельная отрезкам АС и А1С1  (смотри рисунок).
Высоту призмы находим ао Пифагору из треугольника: высота(катет)-сторона основания(катет)-диагональ грани(гипотенуза).
Высота призмы равна √(5²-4²)=3.
Диагональ ВЕ основания равна диаметру описанной вокруг правильного шестиугольника окружности, то есть ВЕ=2*4=8.  Тогда КЕ=6.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми РЕ и КЕ, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии а пересечения плоскостей. В прямоугольном треугольнике РКЕ тангенс искомого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: РК/КЕ=3/6=1/2.
ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант2 (координатный).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Находим по Пифагору отрезок СК=С1Р=√(16-4)=2√3.
Получаем координаты точек: Р(0;3;2√3), К(0;0;2√3), E(6;0;2√3). Вычисляем
координаты векторов (от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА) РE{6;-3;0} и KE{6;0;0}.
Найдем угол между векторами РЕ и КЕ по формуле
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)]
cosα=(36+0+0)/[√(36+9+0)*√(36+0+0)]=36/18√5 = 2/√5.
ответ: искомый угол равен arccos(2/√5).
Но если нужен ответ через тангенс, найдем его. Sinα=√(1-cos²α) = 1/√5.
Тогда tgα=Sinα/Cosα =1/2.
ответ: искомый угол равен arctg(0,5).
Вариант3. Еще более усложним решение (по условию задающего).
Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С.
Тогда получаем координаты точек: А1(0;3;4√3),  C1(0;3;0), E(6;0;2√3).
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0.
Уравнение плоскости основания Х0Z имеет вид: Y=0.
Уравнение плоскости А1С1Е (она параллельна координатной оси 0Z) имеет вид: Ax+By+D=0. 
Составим уравнение плоскости по трем точкам, используя формулу:
|x-0      0-0        6-0       |                       |   x-0     0      6      |
|y-3      3-3        0-3       |  =  0.     Или    |   y-3      0     -3    |  = 0.
|z-4√3  0-4√3   2√3-4√3 |                       | z-4√3  -4√3  -2√3 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
         |  0    -3   |              |   0     6   |                 | 0     6 |
(x-0)* |-4√3 -2√3|  -  (y-3)* |-4√3 -2√3 | +  (z-4√3)*| 0    -3 | =0. 

Отсюда 12√3*(x-0)-24√3*(y-3)+0*(z-4√3)=0. 12√3*x-24√3*y+72√3=0 или x-2y+6=0.
Это и есть уравнение плоскости А1С1Е.
Если плоскость задана общим уравнением x-2y+6=0, то вектор n1{1;-2;0} является вектором нормали данной плоскости.
Вектором нормали плоскости основания является вектор n2{0;1;0}.
Угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей.
cosα=(0-2+0)/[√(1+4+0)*√(0+1+0)]  или cosα=-2/√5.
Получили ТУПОЙ угол, но поскольку плоскости при пересечении образуют две пары вертикальных углов, за угол между плоскостями обычно принимают острый угол, поэтому принимаем  cosα=2/√5 (так как
cos(180-α)=-cosα).
ответ, как и во втором варианте:
искомый угол равен arccos(2/√5) или arctg(0,5).

Из нового синтетического материала изготовили брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 192 см2.

Брусок был подвергнут давлению по всем граням таким образом, что форма прямоугольного параллелепипеда сохранилась, но каждое ребро уменьшилось на 1 см.

Сравнивая два бруска, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, установили, что длина, ширина и высота второго бруска соответственно на 1 см больше, чем у первого бруска, а объем и полная поверхность второго бруска соответственно на 18 см3 и 30 см2 больше, чем у первого.

Одно из боковых ребер наклонного параллелепипеда составляет равные острые углы с прилежащими к нему сторонами нижнего основания.

Через диагональ нижнего основания произвольного параллелепипеда и середину не пересекающего ее бокового ребра проведена плоскость.

Как относятся объемы образовавшихся при этом частей параллелепипеда?

Дан параллелепипед ^SCDA^jCjDj.

Доказать, что в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сумма.

1) Пусть Xf, хг и х3 — длины ребер, выходящих из одной вершины некоторого прямоугольного параллелепипеда.

2) Найти длины ребер такого прямоугольного параллелепипеда, у которого сумма всех ребер, полная поверхность и объем соответственно равны 48 см, 88 см2 и 48 см9.

Длины ребер, исходящих из общей вершины некоторого прямоугольного параллелепипеда, являются корнями уравнения а*3+ ~\-bx*-\-cx-}-d=Q.

Определить длину диагонали этого параллелепипеда.

Найти площадь поверхности сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, три измерения которого являются корнями уравнения Х3+шг2+йлг+с=0.

] Доказать, что сумма квадратов длин всех ребер параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его четырех диагоналей.

Доказать, что из всех прямоугольных параллелепипедов С данной суммой всех ребер наибольший объем имеет куб.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда рагаа 13 см, _а диагонали его боковых граней равны 4У10 см и 3]/17 см.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и Ь, острый угол между ними содержит 60°.

Большая диагональ основания конгруэнтна меньшей диагонали параллелепипеда.

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб.

В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами 1 см и 4 см и острым углом 60°.

Основанием параллелепипеда служит квадрат.

Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Определить объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна / и составляет о одной гранью угол 30°, а с другой 45°.

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь.

Определить объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d, а длины ребер относятся, как т: п: р.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и Ь и образуют угол 30°.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся, как т: п, а диагональное сечение представляет собой квадрат с площадью, равной Q.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см.

Из медной болванки, имеющей форму пря--моугольного параллелепипеда размером 80 смХ20 смХ Х5 см, прокатывается лист толщиной 1 мм.

В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5 дм, а высота равна 12 дм.

Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом 30