a) Начертите АОD;
b) внутри угла проведите луч ОK;
c) найдите величину угла АОD, если АОK=240, DОK в 2 раза больше АОС

1.
М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию
PB + EC + GA = 12
АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12
1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12
АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ
ВЕ = 3/4 ВС
CG = 3/4 AC

По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

У тебя есть окруж­ность с диа­мет­ра­ми АВ и СD. До­ка­жи, что хорды АС и BD равны. До­ка­жи­, что хорды ВС и АD равны. До­ка­жи­, что углы BАD и BСD равны.
Вот как решать:
Для на­ча­ла вы­яс­нии, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как ука­зан­ные от­рез­ки – ра­ди­у­сы одной и той же окруж­но­сти. До­ка­жи ука­зан­ные утвер­жде­ния це­поч­ка­ми тре­уголь­ни­ков. На­при­мер, по пер­во­му при­зна­ку, так как ОВ = ОА как ра­ди­у­сы, СО = ОD ана­ло­гич­но, и углы как вер­ти­каль­ные. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АС = ВD.

Далее до­ка­жи, что ана­ло­гич­но по пер­во­му при­зна­ку. ОD = ОА, СО = ОВ как ра­ди­у­сы, а углы как вер­ти­каль­ные. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АD = ВC.

Далее до­ка­жи, что по тре­тье­му при­зна­ку. АD – общая сто­ро­на у тре­уголь­ни­ков, АС = ВD по до­ка­зан­но­му утвер­жде­нию в п. 1, АВ = СD как диа­мет­ры окруж­но­сти. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что углы равны