Дано: АС=ВК. Довести Ав=СК

 Апофема грани, высота пирамиды и расстояние от основания высоты до основания апофемы образуют прямоугольный треугольник. из него найдем половину стороны основания. 

1/2 стороны основания= √(4а² - (а√2)²)=4а²-2а²=√2а² и равна а√2

а сторона основания равна 2а√2

Поскольку высота и половина основания равны в этом прямоугольном треугольнике, он - равнобедренный и угол между апофемой и средней линией квадрата в основании, что равносильно углу между боковой гранью и основанием,

равен 45 градусам.

Расстояние от центра основания пирамиды - перпендикуляр к апофеме. Поскольку угол между апофемой и плоскостью основания 45 градусов, получится равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой= половине стороны основания и катетами, равными половине апофемы = а.

Расстояние от центра основания до плоскости боковой грани =а

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
S основания =(2а√2)²=8а²
S боковая =4* 2а*а√2 =8а²√2
S полная =8а²√2+8а²=8а²(√2+1)

Пусть  тркугольник ABC ,ромб СLMN тк ромб частный случай параллелограмма то
ML паралельно  BC  отсюда угол LMA тоже прямой,тогда прямоугольные  треугольники ABC и AML подобны  по  общему острому углу соответственно  треугольник   AML  тоже равнобедренный тогда  AM=ML=a  где  а-сторона ромба  тогда   из  теоремы пифагора  AC=b*sqrt(2)=AL+a=a*sqrt(2)+a=a(sqrt(2)+1)  b-известный  катет   откуда
a=b*sqrt(2)/(1+sqrt(2))=(2+sqrt(2))*sqrt(2)/5*(1+sqrt(2))=sqrt(2)*(1+sqrt(2))*sqrt(2)/5*(1+sqrt(2))=sqrt(2)*sqrt(2)/5=2/5=0,4