Решите задачу с дано и чертежом тема: декартовы координаты.">

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано: ΔАВС, КМ - средняя линия.
Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2

Доказательство:

1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС.
По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М.
Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит
КМ ║ АС.
2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ.
По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н - середина АС.
АКМН - параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2

Уравнение бісектрисі першої координатної чверті у = х.
На этой прямой могут быть 2 точки, равноудалённые от точки (5;3) - обозначим её О.
Для нахождения координат таких точек решим систему уравнений прямой у = х и окружности с центром в точке (5;3) радиусом √10.
у = х
(х-5)²+(у-3)² = 10   заменим у на х
(х-5)²+(х-3)² = 10
х²-10х+25+х²-6х+9 = 10   приводим подобные:
2х²-16х+24 = 0   сократим на 2:
х²-8х+12 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-8)^2-4*1*12=64-4*12=64-48=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√16-(-8))/(2*1)=(4-(-8))/2=(4+8)/2=12/2=6;x₂=(-√16-(-8))/(2*1)=(-4-(-8))/2=(-4+8)/2=4/2=2.

Получили 2 точки на оси Ох, такие же координаты и на оси Оу, поэтому задача имеет 2 решения:

(х-6)²+(у-6)² = 10,
(х-2)²+(у-2)² = 10.