4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке о (рис. 4.4). Выразите вектор: a) AB; б) AD через векторы АО и ВО. 13. 0 — точ Вольная 26

DA = 5см

Объяснение:

Смотри рисунок на прикреплённом фото.

Дано, что DA ⊥ плоскости ΔАВС.

Делаем дополнительное построение: из точки А опускаем перпендикуляр АК на продолжение стороны ВС. (АК⊥ВС). Точку  D соединяем с точкой К, образовав пл-ть ADK. Докажем, что DK - расстояние от точки D до прямой ВС, то есть DK⊥ BC.

Пл-ть ADK ⊥ пл-ти АВС, так как  прямая AD, принадлежащая пл-ти АDK, перпендикулярна пл-ти  АВС (AD∈ ADK и AD⊥пл-ти АВС ⇒ пл-ть АDK ⊥ пл-ти  ABС).  

Далее. Поскольку прямая ВС ⊥ АК (линии пересечения пл-тей АВС и АDK), то она перпендикулярна пл-ти ADK.

И поскольку ВС ⊥ пл-ти ADK, то она перпендикулярна каждой прямой пл-ти ADK, проходящей через точку пересечения К. Таким образом, DK⊥BC  и является расстоянием от точки D до прямой ВС. DK = 2√43, по условию.

∠АВК и ∠АВС смежные углы, поэтому

∠АВК  = 180° - ∠АВС = 180° - 120° = 60°.

АК = АВ·sin 60° = 14 · 0.5√3 = 7√3 (cм).

По теореме Пифагора DK² = AK² + DA², откуда

DA = √(DK² - AK²) = √(4 · 43 - 49 · 3) = √172 - 147 = √25 = 5(см)

Пусть ∠NKL = ∠MKP = φ - π/2 = α;
неизвестная площадь NKM = s;
a - s = KL*KN*sin(α)/2;
b - s = KM*KP*sin(α)/2;
если это перемножить, то
(a - s)*(b - s) = KL*KN*KM*KP*(sin(α))^2/4 = a*b*(sin(α))^2;
(a - s)*(b - s) = a*b*(sin(α))^2;
осталось решить квадратное уравнение
s^2 - (a + b)*s + a*b*(cos(α))^2 = 0;
s = (a + b)/2 +- √((a + b)^2 - a*b*(cos(α))^2);
s = (a + b)/2 +- √(a^2 + b^2)/2 + a*b*(sin(α))^2);
Осталось понять, какой оставить знак.
s = (a + b)/2 - √(a^2 + b^2)/2 + a*b*(cos(φ))^2);

я нашел частный случай, очень легкий, и по нему можно понять, что остается именно "минус". Пусть α = π/6; и сам треугольник KLM имеет угол L = π/6; оба треугольника получаются одинаковые, и их пересечение имеет площадь a/2, то есть s = (a + b)/4