В правильній чотирикутній призмі ABCDA1B1C1D1 точка K є серединою ребра CC1 , діагональ B1D дорівнює d і утворює з бічною гранню ADA1D1 кут альфа. 1) Побудуйте переріз призми площиною, що проходить через пряму А1В1 та точку K, обґрунтуйте побудову перерізу. 2) Вкажіть вид отриманого перерізу та обґрунтуйте свою відповідь. 3) Вкажіть на рисунку кут альфа та обґрунтуйте його положення. 4) Знайдіть площу отриманого перерізу.

А). Цитата: "Существование и единственность вневписанной
окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов
треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими
двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром
такой окружности".
В треугольнике АВС <ABC+<BCA=180°-<A.
<ABC=180°-<CBP,  <BCA=180°-BCK - как пары соответственно смежных
углов.
Окружность (Q;R) - вневписанная окружность треугольника АВС по
определению (из условия). Следовательно, BQ и СQ - биссектрисы углов <CBP и <BCK соответственно.
Тогда <BQC=180°-(1/2)*(CBP+BCK)=180°-(1/2)*(360°-<ABC-<BCA). Или
<BQC=(1/2)*(<ABC+<BCA).
Но <BQC - вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, а
<BOC- центральный угол, опирающийся на ту же дугу.
<BOC=2*<BQC = <ABC+<BCA = 180°-<A.
Тогда в четырехугольнике АВОС сумма противоположных углов
<А+<BOC=<A+180°-<A = 180°. Значит около этого четырехугольника
можно описать окружность и при том только одну.
Следовательно, окружности, описанные около треугольника АВС и
четырехугольника АВОС - одна и та же окружность и точка О лежит
на этой окружности, что и требовалось доказать.

б). Пусть R/r=4/3.  r=(3/4)*R.
<А+<BOC= 180° (доказано выше).
CosA = -Cos(180-A) = -Cos(BOC).
ВС - общая хорда пересекающихся окружностей.
По теореме косинусов из треугольника ОВС:
BC²=2R² - 2R²Cos(BOC)=2R²+ 2R²CosA=2R²(1+CosA) . (1)
Bз треугольника AВС:
<BJC - центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и <BAC.
<BJC=2<A.
BC²=2r² - 2r²Cos(BJC)=2r²(1-Cos2A) . (2)
Приравняем (1) и (2):
2R²(1+CosA)=2r²(1-Cos2A)  или
2R²(1+CosA)=2(9/16)R²(1-Cos2A)  или
(1+CosA)=(9/16)(1-Cos2A).
По формуле приведения Cos2A= 2Cos²A-1, тогда
1+CosA=(9/16)(1-2Cos²A+1) => 1+CosA=(9/8)(1-Cos²A).
Пусть CosA= Х, тогда:
8+8Х=9-9Х²  или
9Х²+8Х-1=0
Х1=(-4+√(16+9))/9 = 1/9.
Х2=-1 - не удовлетворяет условию, так как <A > 0.
ответ: CosA=1/9.

Треугольник MNK, MN=NK=корень из 3, угол N=120 гр., NP-высота Решение: Т.к. в равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой, значит MP=PK, угол MNP=углу PNK=60гр. Рассмотрим прямоугольный треугольник MNP. Т.к. угол P=90 гр, угол N=60 гр, значит угол М=30 гр. Следовательно, NP=1/2 MN=(корень из 3)/2 (катет против угла 30 гр. равен половине гипотенузы) По теореме Пифагора: MP= корень из (MN^2-NP^2)=1,5 см Значит МК=2*1,5=3 см Периметр треугольника MNK=3+корень из "3"+корень из "3"=3+2 корня из "3"