Даны точки A(−5;8),B(7;−12), точка C - середина отрезка AB. Найдите произведение координат точки C.

Теория: диагонали ромба
- перпендикулярны
 - точкой пересечения делятся пополам
Начертите ромб, проведите диагонали, по рис. будет видно, что диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника (поскольку диагонали ромба перпендикулярны).  Рассмотрим один из них. Нам известно: сторона ромба, в прямоугольном треугольнике это гипотенуза, катет =5 см. (10:2).
Значит можем найти второй катет:  а²=с²-b²       a²=13²-5²=144=12²
Нашли половину второй диагонали, вся диагональ  -   12*2=24
ответ: вторая диагональ 24 см.

Пусть данная точка будет А, плоскости, между которыми она расположена – α и β. 

Расстояние от точки до плоскости - длина отрезка, проведенного перпендикулярно к ней. 

АВ ⊥ альфа, АС ⊥ бета. АВ=АС=а

Расстояние от точки до линии пересечения плоскостей - длина отрезка, проведенного перпендикулярно этой линии, т.е. ребру двугранного угла. АВ и АС  лежат в плоскости, перпендикулярной двугранному углу, т.е. содержащей его линейный угол. АМ лежит в той же плоскости и потому перпендикулярна линии пересечения плоскостей. 

ВМ и СМ - проекция наклонной АМ на данные плоскости, а т.к. расстояния от А до них равны, то ВМ=СМ.

Рассмотрим треугольники АВМ и АСМ. Оба прямоугольные с равными катетами и общей гипотенузой АМ. ⇒∆ АВМ=∆АСМ по трем сторонам. 

∠АМВ=∠АМС=60°:2=30° ⇒

АМ=АВ:sin30°=а:1/2=2a Это ответ.