"Кенгуру" На рисунке изображено три шестерни, каждая из которых имеет черный зубец. На каком из рисунков изображены шестерни после того, как наименьшая шестерня сделает один полный оборот по часовой стрелке?

Все ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равны между собой. Вычислите площадь сечения плоскостью, содержащей точку С и прямую А1В1, если площадь боковой поверхности треугольной пирамиды СС1АВ равна √3+4.

-----------

Поскольку призма правильная и все её  ребра равны, то ее боковые грани - квадраты. 

Сделаем рисунок. 

S бок.  пирамиды СС1АВ равно сумме площадей двух равных граней - равнобедренных прямоугольных треугольников АСС1и ВСС1 и  наклонной грани- равнобедренного треугольника АС1В.

Пусть ребро призмы равно а. 

S ACC1=S BCC1= а²:2

S AC1B=AB•C1H:2

АС1- диагональ квадрата и равна a√2

АН=ВН=а/2

Из ∆ АС1Н по т.Пифагора найдем С1Н. 

С1Н²=АС1²-АН²=2а²-а²/4=7а²/4

            С1Н=(a√7):2

S AC1B=a√7/2)•a/2=(a²√7):4

Sбок  пирамиды=2•(а²:2)+a²√7/4= (4а²+а²√7):4=a²(4+√7):4

 По условию a²(√7+4):4= √3+4

а² =4•(√3+4):(√7+4)

S A1CB1=S AC1B=(a²√7):4

Подставим значение  а²  в выражение S A1CB1=(a²√7):4

S A1CB1=[4•(√3+4):(√7+4)]•(√7):4

S A1CB1=√7•(√3+4):(√7+4) (ед. площади)

Рисунок здесь без надобности. 
Сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника  180º•(n-2), где n- число сторон. 
Сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника 360º. 
Допустим, что многоугольник правильный. 
 Тогда каждый внешний угол будет 360º:n
Заданную сумму  всех внутренних углов правильного многоугольника с одним из внешних можно выразить уравнением:
180º•(n-2)+360º:n=1000º
 180n²-360n+360=1000n⇒ после несложных преобразований получим
9n²-68n+18=0
Корнями этого квадратного уравнения ≈7,3 и ≈0.3; 
Количество сторон многоугольника не может быть дробным и не может быть меньше трех. Зато градусная мера его углов может быть выражена не целыми числами. 
Многоугольник по условию не задан правильным. Следовательно, количество его сторон может быть равно семи. Проверим:
180•(7-2)+x=1000º
х=1000º-900º=100º  Подходит. 

Сумма внутренних углов восьмиугольника больше 1000º - следовательно,  сторон меньше 8.
Сумма внутренних углов шестиугольника 720º. Тогда внешний угол должен быть 1000º-720º=280º, чего быть не может. Внешний угол со смежным внутренним в сумме составляют развернутый угол, т.е. 180º. 
ответ: Число сторон данного выпуклого многоугольника 7.