Найти скалярное произведение векторов AK̅̅̅̅ и BL̅̅̅̅, если AK и BL − медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которого равна S, а угол ∠ А = 120°.
Объяснение:
1) ΔАВС-равнобедренный , ∠А =120°, АС=АВ=х ,∠В=∠С=(180°-120°):2=30° . Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними. По условию она S.
S=1/2*х*х*sin120 ⇒ х²= 2S: 
. х= 
.
По т. синусов 
, 
, BC=
.
2) Используя правила сложения векторов :
вектор АК=0,5(АВ+АС), вектор ВL=0,5(ВА+ВС). Тогда
Векторы АК*ВL=0,25(АВ*ВА +АВ*ВС +АС*ВА +АС*ВС) .
Посчитаем каждое скалярное произведение
Вектора АВ*ВА=|АВ|*|ВА|*cos180=(4S/√3)*(-1)=
Вектора АВ*ВC=|АВ|*|ВC|*cos150=
Вектора АС*ВА=|АС|*|ВА|*cos60=
Вектора АC*ВС=|АC|*|ВС|*cos30= 
*
*
=S√3 .
Для определения угла между векторами, вектора переносились для совмещения начал векторов.Использовались свойства углов параллелограмма, смежных углов ( см. чертеж)
АК*ВL=0,25*S( 
) =
.
α-тупой угол, диагональ АС разбивает параллелограмм на два равных треугольника, в треугольнике АВС есть три угла α;β; (180-(α+β)); sin(180-(α+β))=sin(α+β)=sinα*cosβ+sinβ*cosα
cosβ=√(1-sin²β)=√(1-64/289)=√(225/289)=15/17;
cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-144/169)=-√(25/169)=-5/13;
sin(α+β)=(12/13)*(5/17)-(8/17)*(5/13)=(60-40)/(17*13)=20/(17*13);
По следствию из теоремы синусов АС/sin(180-(α+β))=BC/sinα=AB/sinβ;
5/(20/17*13)= BC/sinα; BC=5*17*13*12/(13*20)=51
5/(20/17*13)=AB/sinβ; АВ=5*17*13*8/(17*20)=26
Значит, площадь равна АВ*АС*sin(α+β)=51*26*(20/17*13)=120
ответ 120,00
Посмотрел на задание, которое Вам предложили в качестве решения в комментариях. Проверил. ответ тот же. )
