Дан треугольник, две стороны которого равны по 10 см, третья - 12 см. Этот треугольник равнобедренный. Обозначим его АВС, АВ=ВС. Проведем высоту ВН к основанию. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой. ⇒ АН=СН=6 см. По т.Пифагора ВН=√(АВ²-АН²)=√(100-36)=8 см. Высоты к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны. Найдем их из площади ∆ АВС.
Ѕ(АВС)=АС•ВН:2=48 см² В то же время Ѕ(АВС)=СМ•АВ:2, поэтому СМ•10:2=48 см², откуда СМ=АК=96:10=9,6 см.
Если два треугольника имеют равный угол, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
Дано: ΔАВС, ΔА₁В₁С₁, ∠А = ∠А₁.
Доказать: Sabc /Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) / (A₁B₁ · A₁C₁) .
Доказательство:
Наложим треугольники так, чтобы угол А совместился с углом А₁, а стороны А₁В₁ и А₁С₁ лежали на лучах АВ и АС соответственно.
Проведем ВН - высоту ΔАВС. ВН является так же и высотой треугольника А₁ВС₁.
Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как их основания (стороны, к которым проведена высота):
Sabc / Sa₁bc₁ = AC / A₁C₁ (1)
Проведем С₁Н₁ - высоту ΔА₁В₁С₁. С₁Н₁ является так же и высотой треугольника АВС₁, значит
Sabc₁ / Sa₁b₁c₁ = AB / A₁B₁ (2)
Перемножим равенства (1) и (2):
(Sabc / Sa₁bc₁) · (Sabc₁ / Sa₁b₁c₁) = (AC / A₁C₁) · (AB / A₁B₁)
Так как Sa₁bc₁ и Sabc₁ это площадь одного и того же треугольника, она сокращается и получаем:
Sabc / Sa₁b₁c₁ = (AB · AC) / (A₁B₁ · A₁C₁)
