мне порешать задачу с геометрии: "У трикутнику ABC. AB=3 см; BC=4 см. Знайдіть сторону AC, якщо:

1. Радиус сферы равен половине диаметра, R = 25 см.

Отрезок, соединяющий центр сферы с центром сечения, перпендикулярен сечению. это и есть расстояние от центра сферы до сечения.

Итак, ОА = 25 см, ОС = 15 см. Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим радиус сечения:

АС = √(ОА² - ОС²) = √(25² - 15²) = √(625 - 225) = √400 = 20 cм

Линия пересечения сферы плоскостью - окружность. Ее длина:

C = 2π·AC = 2π · 20 = 40π см

2. Сечение шара - круг. Его площадь равна 36π см²:

Sсеч = π · r² = 36π

r² = 36

r = 6 см

Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора:

ОС = √(ОА² - r²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см - искомое расстояние.

3. Радиус большого круга равен радиусу шара.

Площадь сечения:

Sсеч = πr²

Площадь большого круга:

S = πR², R = √(S/π)

Sсеч / S = πr² / (πR²) = r²/ R²

По условию Sсеч / S = 3 / 4, ⇒

r²/ R² = 3 / 4, тогда r/R = √3/2

В прямоугольном треугольнике АОС r/R - это косинус угла А.

Тогда ∠А = 30°.

Расстояние от центра шара до сечения - отрезок ОС. Это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит он равен

OC = R/2 = √(S/π) / 2 = √S/(2√π)

4. Радиус шара равен половине диаметра:

R = 2√3 см

Прямоугольный треугольник ОВС равнобедренный, так как в нем острый угол равен 45°, поэтому

ОС = r = R/√2 = 2√3 / √2 = √6 см

Sсеч = πr² = π · (√6)² = 6π см²

Пусть общая хорда AB , O₁ и O₂ центры окружностей ;O₁A=O₂A =r ,O₁O₂ =r.
---
O₁O₂ ⊥ AB.   ΔO₁A O₂ (также ΔO₁BO₂)  равносторонние  со стороной r.
AB= 2*(r√3)/2)⇒r =(AB√3)/3 .

Пусть AB и CD  взаимно перпендикулярные хорды (AB ⊥ CD) , P_точка пересечения этих хорд ( P=[AB] ⋂[CD] ) b AP= DP =10 ; BP =CP =16 см.

R - ?
Например , из ΔACD:  AC/sin∠ADC =2R ⇒R =AC/2sin∠ADC.

ΔAPC =ΔBPD (по катетам ) ⇒AC =DB =√(10² +16²) =2√(5² +8²) =2√89 (см).
ΔAPD  равнобедренный прямоугольный треугольник
⇒∠ADP  || ∠ADC||  =∠DAP=45° . 
Следовательно :
R =AC/2sin∠ADC =AC/2sin45° =(2√89)/(2*1/√2) =√178 (см).