Задача 1. Точка А лежить на колі з центром в точці О, а пряма АМ дотикається до кола. Знайдіть кути трикутника АOМ, якщо кут АОМ на 25°30' більший за кут АМО.

Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁ - (в условии не указано что это)
          ВД₁ - диагональ
          АВ=4, ВС= 5√3, АА₁=3
Найти: ∠А₁ВД₁ -?

1) Пусть АВСДА₁В₁С₁Д₁ - прямоугольный параллелепипед, тогда вычислим по формуле ВД₁²=АВ²+ВС²+АА₁²=4²+(5√3)²+3²=100, ВД₁=√100=10
2) Так как АВСДА₁В₁С₁Д₁ прямоугольный параллелепипед, то в Δ А₁В  ∠А=90°, тогда находим по теореме Пифагора  А₁В²=АА₁²+АВ²=25, А₁В=√25=5
а также ΔА₁Д₁В - прямоугольный,то cos острого угла равен отношению катета, выходящего из этого угла, к гипотенузе; 
находим cos ∠А₁ВД₁=А₁В/Д₁В=5/10=1/2=60°

ответ: ∠А₁ВД₁=60°

Искомое расстояние найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой =2см и катетов, один из которых равен этому расстоянию, а второй перпендикуляру опущенному из точки пересечения диагоналей ромба на его сторону

катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы

диагонали ромба перпендикулярны друг другу

половины диагоналей ромба равны 2 и 2√3 см

площадь ромба = 8√3 кв.см

перпендикуляр из точки пересечения диагоналей ромба на боковую сторону ромба =х

0,5 * 4 * х *4 = 8√3       х=√3

искомое расстояние = √(2^2 - (√3)^2) = √(4 - 3) = 1 см

ответ: 1 см