На адрэзку AB пазначаны пункт С, дзе AC > ВС. Адлегласць паміж сярэдзінай адрэзка АВ і сярэдзінай адрэзка ВС роўна 24 см. Знайдзіце даўжыню адрэзка AC.

Если на ребрах  тетраэдра  abcd отмечены точки v (на ребре ab), r (на ребре bd) и t (на ребре cd), а по условию нужно построить сечение  тетраэдра  плоскостью vrt, то постройте, прежде всего, прямую, по которой плоскость vrt будет пересекаться с плоскостью abc. в данном случае точка v будет общей для плоскостей vrt и abc. 2для того чтобы построить еще одну общую точку, продлите отрезки rt и bc до их пересечения в точке k (данная точка и будет второй общей точкой для плоскостей vrt и abc). из этого следует, что плоскости vrt и abc пересекаться будут по прямой vк. 3в свою очередь прямая vк пересечет ребро ас в точке l. таким образом, четырехугольник vrtl и является искомым сечением  тетраэдра, построить которое нужно было по условию . 4обратите внимание на то, что, если прямые rt и bc параллельны, то прямая rt параллельна грани авс, поэтому плоскость vrt пересекает данную грань по прямой vк', которая параллельна прямой rt. а точка l будет точкой пересечения отрезка ас с прямой vк'.  сечениететраэдра  будет все тем же четырехугольником vrtl. 5допустим, известны следующие исходные данные: точка q находится на боковой грани adb  тетраэдра  abcd. требуется построить сечение этого  тетраэдра, которое бы проходило через точку q и было бы параллельным основанию abc. 6ввиду того, что секущая плоскость параллельна основанию abc, она также будет параллельна прямым ав, вс и ас. а значит, секущая плоскость пересекает боковые грани  тетраэдра  abcd по прямым, которые параллельны сторонам треугольника-основания авс. 7проведите из точки q прямую параллельно отрезку ав и обозначьте точки пересечения данной прямой с ребрами ad и bd буквами m и n. 8затем через точку m проведите прямую, которая бы проходила параллельно отрезку ас, и обозначьте точку пересечения данной прямой с ребром cd буквой s. треугольник mns и есть искомым сечением.

Подобные задачи встречаются довольно часто, как по отдельности, так и пакетом. . 

1) Через точку пересечения диагоналей квадрата MNPQ (точку О) проведён перпендикуляр OD к его плоскости. OD=8см, MN=12см. 

Вычислите: 

а) расстояние от точки D до прямой NP. 

б) площади треугольника MDN и его проекции на плоскость квадрата. 

в )расстояние между прямыми OD и MN

Решение:. 

Вспомним, что диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и  точкой пересечения делятся пополам. 

а) Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенная перпендикулярно из точки к прямой.  Расстояние от D до прямой NP - наклонная DH, проведенная перпендикулярно NP.

По т.о 3-х перпендикулярах ОН⊥MP; DH ⊥NP⇒

ОН=КN=MN:2=6 см 

⊿ DOH  - египетский - это следует из отношения его катетов ОН:OD=3:4; его гипотенуза DH=10 см- это и есть искомое расстояние. (  можно проверить по т.Пифагора).

б) Расстояния от D до каждой из сторон  и  от ОD  до каждой из вершин квадрата соответственно равны, т.к. DO проецируется в центр основания, О - центр вписанной ( и описанной) окружности ⇒ ОК=ОH=6 см

∆ MDN- равнобедренный, его высота DK=DH=10 см

S (∆ MDN)=DK•KN=10•6=60 см²

Проекция ∆ MDN  на плоскость квадрата - это прямоугольный ∆ MON.  Его основание МN - общее с ∆ MDN, вершина D ∆ MDN проецируется в точку пересечения диагоналей, образующих прямой угол, ОM=ON как половины диагоналей квадрата.  

MN=12 см, высота ОК=6 см

S (∆ MON)=OK•MN:2=36 см²

в) 

DO и MN- скрещивающиеся прямые,  расстояние между ними определяется общим перпендикуляром ОК, а так как он равен половине длины стороны квадрата (см. выше), то это расстояние равно 6 см. 

––––––––––––

2) Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является квадрат, диагональ которого равна 12√2 дм. Диагональ боковой грани параллелепипеда равна 8√3 дм. 

Вычислите градусную меру двугранного угла D1ABD

--------------------

Решение здесь  несложное и короткое, в отличие от пояснения. 

Сделаем рисунок. 

Двугранный угол, градусную меру которого нужно вычислить, составлен плоскостью ∆ D1АВ и плоскостью ∆ DАВ. Первый  лежит в плоскости диагонального сечения параллелепипеда, второй - в плоскости квадрата,  его основания.

Величина двугранного угла равна его линейному углу, который образован двумя лучами, проведенными в каждой из плоскостей перпендикулярно одной точке на линии их пересечения.

АD1⊥АВ,  АD⊥АВ⇒ искомый угол -  угол D1АD. 

Диагональ квадрата делит его на два равнобедренных  прямоугольных треугольника. АD=АВ, и ВD =12√2

АD можно найти 

а) по т.Пифагора; 

б) через синус (косинус) 45º  или 

просто вспомнить, что диагональ квадрата ( как и гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника) равна а√2, где а - сторона квадрата или катет равнобедренного прямоугольного треугольника. ⇒

АD=12

cos ∠DAD1=DA:AD1

cos ∠DAD1=12:8√3=(√3):2 - это косинус 30º - искомого угла.