Точка S удалена от каждой из вершин правильного треугольника ABC на корень из 13 см. Найти двугранный угол SABC, если AB = 6 см Соединим S с вершинами треугольника АВС. SA=SB=SC=sqrt(13) Получим правильную пирамиду. Пусть SO - ее высота. Тогда так как боковые ребра равны, то О-центр вписанной окружности (точка пересечения высот, медиан..) Проведем СО до пересечения с АВ в точке М . М- середина АВ, СМ перпендикулярно АВ. Тогда и SМ перпендикулярна АВ по теореме о трех перпендикулярах, а значит угол SMO - линейный угол двугранного угла SABC (его надо найти) Медиана правильного треугольника со стороной а равна а*sqrt(3)/2, а медианы в точке пересечения делятся как 2:1, считая от вершины) можно найти ОМ=sqrt(3) SМ находится из треугольника ASM по т. Пифагора сosSMO=MO/SM
Теорема . три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. доказательство: пусть abc - данный треугольник . пусть прямые, содержащие высоты ap и bq треугольника abc пересекаются в точке o. проведем через точку a прямую, параллельную отрезку bc, через точку b прямую, параллельную отрезку ac, а через точку c - прямую, параллельную отрезку ab. все эти прямые попарно пересекаются. пусть точка пересечения прямых, параллельных сторонам ac и bc - точка m, точка пересечения прямых, параллельных сторонам ab и bc - точка l, а прямых, параллельным ab и ac - точка k. точки klm не лежат на одной прямой, (иначе бы прямая ml совпадала бы с прямой mk, а значит, прямая bc была бы параллельна прямой ac, или совпадала бы с ней, то есть точки a, b и c лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника) . итак, точки k, l, m составляют треугольник. ma параллельно bc, и mb параллельно ac по построению. а значит, четырёхугольник macb - параллелограмм. следовательно, ma = bc, mb = ac. аналогично al = bc = ma, bk = ac = mb, kc = ab = cl. значит, ap и bq - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника klm. они пересекаются в точке o, а значит, co - тоже срединный перпендикуляр. co перпендикулярно kl, kl параллельно ab, а значит co перпендикулярно ab. пусть r - точка пересечения ab и cq. тогда cr перпендикулярно ab, то есть cr - это высота треугольника abc. точка o принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника abc. значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. что и требовалось доказать.
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota
Оформи подписку
