Сечение сферы - окружность. На рисунке - сечение сферы, проходящее через ее центр и перпендикулярное данным сечениям.
1. Пусть оба сечения находятся по одну сторону от центра сферы. АВ - диаметр большего сечения, К - его центр, CD - диаметр меньшего сечения, Н - его центр. Отрезок, соединяющий центр сферы и центр сечения, перпендикулярен сечению и является расстоянием от центра сферы до него. Тогда ОК - расстояние от центра сферы до большего сечения, ОН - до меньшего. КН = 3 см, ОК = х см.
Из прямоугольных треугольников АКО и СНО получаем систему уравнений:
x² = R² - 144 (x + 3)² = R² - 81
x² = R² - 144 x² + 6x + 9 = R² - 81 вычтем из второго первое:
6x + 9 = 63 6x = 54 x = 9
R = √(144 + 81) = √225 = 15 см
Sсф = 4πR² = 4π · 225 = 900π см²
2. Данные сечения находятся по разные стороны от центра сферы. Из тех же прямоугольных треугольников получаем систему:
x² = R² - 144 (3 - x)² = R² - 81
x² = R² - 144 9 - 6x + x² = R² - 81 вычтем из первого второе
6x - 9 = - 63 6x = - 54 x = - 9 не подходит по смыслу задачи. Значит, второй вариант расположения сечений невозможен.
В результате такого вращения получается конус с вырезанным конусом снизу, объем равен объем большого конуса минус объем конуса который вырезали снизу.
Если треугольник ABC с вершиной B и стороной AB = 10, то угол A = 30 градусов. Пусть он вращается вокруг стороны AB, тогда продолжим ее и отметим точку на основании конуса вращения как D (за точкой B). Из ΔBCD BD = 10 * sin 30 = 10 * 1/2 AD = 10 + 10 *1 /2 DC = 10 * cos(30) = 10 * √3 / 2 Объем большого конуса Vb = 1/3 π R² H = 1/3 π DC² · AD = 1/3 π (10 * √3 / 2) ² (10 + 10 *1 /2) Объем малого (радиус у них одинаковый) Vm = 1/3 π R² h = 1/3 π DC² · BD = 1/3 π (10 * √3 / 2) ² (10 *1 /2)
