Подскажите тупому человеку(мне) желательно с рисунком. .
.
.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Докажите. (докажите пыж пыж пыж) :)

Если в данном прямоугольном треугольнике есть угол, равный 60-ти градусам, то в нём будет угол, равный 30-ти градусам(180-90-60=30). Как нам известно, в треугольниках напротив большего угла лежит бОльшая сторона этого самого треугольника, т.е. напротив угла в 30 градусов лежит меньший катет этого прямоугольного треугольника.
А как нам всем известно, в прямоугольном треугольника сторона, лежащая напротив угла в 30 градусов, равна половине его гипотенузы. Т.е. разница между гипотенузой и меньшим катетом треугольника является просто разницей между гипотенузой и её половины. Значит сама гипотенуза равна 6-ти см(3*2=6), а меньший катет равен 3-ём см.
ответ: гипотенуза=6 см, меньший катет=3 см.

Доказать подобие треугольников А1СВ1 и АВС.

сделаем построение по условию

треугольники ACA1 и ВСВ1 - подобные по ПЕРВОМУ признаку подобия (по двум углам)

<AA1C=<BB1C=90 град

<ACA1=<BCB1 -вертикальные

следовательно , соответственные стороны относятся

СA1 / CB1 =CA / CB = k1   -коэффициент подобия для треугольников ACA1 и ВСВ1

отношение можно записать по-другому

СA1 / CA = CB1 / CB = k2  -коэффициент подобия для треугольников А1СВ1 и АВС.

т.е. треугольники А1СВ1 и АВС подобны по ВТОРОМУ признаку подобия 

(если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны)

пропорциональные стороны СA1 / CA = CB1 / CB

<A1CB1 = <ACB --вертикальные

доказано подобие треугольников А1СВ1 и АВС.