На сторонах угла B отложены отрезки BA=BC KA=MC, Доказать что угл. A=угл. C

радиус окружности описанной возле правильного треугольника находится по формуле : R=корень из 3 делить на три и умноженный на сторону треугольника

R=корень из 3 деленный на три умножаем на 4 корня из 6

R=корень из 288 деленного на 3

R=12 корней из 2 и все это делить на 3

R=4 корня из 2

далее находим сторону квадрата вписанного в эту же окружности

радиус окружности треугольника равен радиусу окружности квадрата

радиус квадрата равен R=корень из 2 деленный на 2 и все это умножить на сторону квадрата (t)

выражаем t из этой формулы получаем

t= R делить на корень из 2 деленный на 2

t=4корня из 2 делить на корень из 2 деленный на 2

t=8 см

ответ: 8 см.
  

Биссектриса угла - это геометрическое место точек внутри угла, равноудаленных от сторон угла.
Точка К лежит на биссектрисе ВМ прямого угла, следовательно, перпендикуляры из точки К на стороны АВ и ВС будут равны. Пусть они будут равны Х.
Из прямоугольных треугольников АКЕ и СКР по Пифагору найдем АК и КС:
АК=√[(4-Х)²+Х²], а KC=√[(3-Х)²+Х²].
По условию АК = КС, значит и  АК² = КС².
16-8Х+Х²+Х² = 9-6Х+Х²+Х², или 16-8Х =  9-6Х, откуда Х=3,5.
Найдем BK из прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами
Х = 3,5.
ВК = √(Х²+Х²) = 3,5*√2.
ответ:  ВК = 3,5*√2 ≈ 4,95.

Подкорректируем рисунок, чтобы он соответствовал решению (зеленые и красные линии)  АЕ = АВ-Х =4-3,5=0,5.  СР=ВР-ВС=3,5-3=0,5.