Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна - вопрос №20103841 от Aleksey8b 28.10.2022 11:13

Question

Геометрия: Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна стороне CD. Найдите AB, если AD = 4, AB^2+BC^2=11

Aleksey8b · Answer

У равнобедренной трапеции диагонали равны, значит если AC ⊥ CD, то DB ⊥ AB. Проведём высоты BK и CF, AK = FD.

AD = 2AK + BC = 4 ⇒ $AK=\frac{4-BC}{2}$ .

$KD=BC+FD=BC+\frac{4-BC}{2}=\frac{4+BC}{2}$

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов

$BK=\sqrt{AK\cdot KD}=\sqrt{\frac{4-BC}{2}\cdot\frac{4+BC}{2}}=\sqrt{\frac{16-BC^2}{4}}$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABK:

AB^2=BK^2+AK^2

Из равенства AB^2+BC^2=11 имеем AB^2=11-BC^2

$11-BC^2=\dfrac{16-BC^2}{4}+\left(\dfrac{4-BC}{2}\right)^2$

$11-BC^2=\dfrac{16-BC^2+16-8BC+BC^2}{4}$

11-BC^2=8-2BC

BC^2-2BC-3=0

По теореме Виета BC=3 и BC=-1 (лишний).

$AB=\sqrt{11-BC^2}=\sqrt{11-3^2}=\sqrt{2}$

ответ: √2 .