Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.

Доказательство. Обозначим через a, b, c и p длины сторон BC, CA, AB и

полупериметр

треугольника ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника касаются отрезков BC, CA и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Тогда верны равенства

AB1=

AC1=

BC1=

BA1=

CA1=

CB1=

Следовательно,

AB1B1C⋅BC1C1A⋅CA1A1B=1,

и поскольку среди точек A1, B1, C1 количество лежит на сторонах треугольника, по обратной теореме отрезки AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.