Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо її висота дорівнює 4 см, а апофема -- 8 см.

Призма - правильная четырехугольная. в основании её - квадрат. диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. значит, диагональ квадрата - основания и высота призмы - катеты равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой - диагональю призмы. длина этой гипотенузы дана в условии - 4 см пусть х - катеты этого треугольника 4=х√2 х=4: √2=4√2: (√2*√2)=2√2 диагональ основания квадрата =2√2 высота призмы =2√2 основание цилиндра - круг, ограниченный вписанной в квадрат окружностью. радиус этой окружности равен половине стороны квадрата - основания призмы. найдем эту сторону из формулы диагонали квадрата: d=а√2 мы нашли d=2√2, значит сторона квадрата а=2 r= 2: 2=1 имеем цилиндр, высота которого по условию равна высоте призмы и равна 2√2, радиус основания цилиндра, найденный в процессе решения r =1 площадь боковой поверхности цилинда равна произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. s =2πr*h= 2π*2√2 см²=4π√2 см²

 Основания трапеции параллельны. 

Её диагонали - секущие. 

 Накрестлежащие углы при их пересечении с основаниями равны. Треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей, подобны по 3-м углам. 

 Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению оснований трапеции. 

k=4/8=1/2

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.  

Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции на части, являющиеся высотами треугольников. 

Обозначим высоту меньшего треугольника h, высоту большего - Н. 

 Тогда h/H=1/2. 

 Высота трапеции содержит 1+2 =3 части. 

Каждая часть=9:3=3 см

 Поэтому h=3 см 

Н=2•3=6 см. 

Расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции равны 3 см и 6 см. 

*****************

Задача 2. 

Наложим данные треугольники друг на друга так, чтобы стороны их равных углов совпали. Пусть общая вершина будет В, а сами треугольники – АВС и КВМ. 

Так как оба  треугольника равнобедренные и имеют равные  углы при вершине, их углы при основаниях КМ и АС тоже равны ( свойство).  

∆ КВМ~∆ АВС. k= ВС/ ВМ=15:5=3 

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит его пополам. 

КО=ОМ, и АН=НС.

КО=3 ( ∆ КВО - египетский,  проверьте по т.Пифагора.) 

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

АН:КО=3. 

АН=3•3=9

АС=9•2=18 см

Р ∆ АВС=2•ВС+АС=30+18=48 см