1)
Докажите, что плоскость, проведенная через середину рёбер AB, BC, BB1 параллельна плоскости (ACB1).
Проведем сравниваемые плоскости в данном кубе, соединив указанные в условии точки.
Имеем две плоскости - 2 треугольника -АСВ1 и авс.
По условию задачи сВ=аВ, Вв=вВ1. Все эти отрезки равны между собой, т.к. являются половинами ребер куба.
Треугольник АСВ1 являет собой равносторонний треугольник, т.к. его стороны равны диагоналям граней куба, а грани куба, как известно, равны.
Стороны св=ва=ас - средние линии треугольников СВВ1, АВВ1, АВС соответственно. Средние линии треугольников параллельны основаниям.
св║СВ1
ав║АВ1.
Нет необходимости доказывать, что ав перескается с вс, а АВ1 пересекается с СВ1
Еcли две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны, что и требовалось доказать.
--------------------
2)
Вычислите периметр треугольника ACB1, если ребро = 2см.
Поскольку стороны этого треугольника - диагонали граней куба, а его грани - квадраты со стороной 2 см, найдем длину диагонали куба и затем уже периметр треугольника.
Известна формула диагонали куба. Эта формула выведена из теоремы Пифагора, легко запоминается и при решении задач бывает часто нужна:
d=а√2
а=2
d=2√2 см
АС=СВ1=АВ1=2√2 см
Периметр треугольника ACB1
Р=3d=3*2√2=6√2 см
.
ыМожно записать теорему косинусов для треугольника АВМ
и найти косинус угла А.
cos A = (400+49-225) / 2*20*7 = 224/280 = 0,8
Тогда sin A = 0,6
еНаходим катет ВС
ВС = AB*sinA = 20*0,6=12(см)
А можно дважды использовать теорему Пифагора.
Из прямоугольного треугольника АВС: ВС^2 = AB^2 - AC^2 = 400 - (CM + 7)^2
Из прямоугольного треугольника ВСМ: BC^2 = BM^2 - CM^2 = 225 - CM^2
400 - (CM + 7)^2 = 225 - CM^2
400 - CM^2 - 14СМ - 49 = 225 - CM^2
14СМ = 126
СМ = 9см
Тогда BC^2 = 225 - 9^2 = 225 - 81 = 144
ВС = 12см
ответ. 12см
