∠С=30°,∠А=90°,∠В=60°
Объяснение:
Дано: AD⊥BC, ВО=ОС. ∠ВАD=∠DАО=∠ОАС
Найти: ∠А,∠В,∠С ΔАВС
Пусть ∠ВАD=∠DАО=∠ОАС=х
1) Рассмотрим ΔВАО. АD - высота. ∠ВАD=∠DАО ⇒ АD - биссектриса.
Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то треугольник равнобедренный. ⇒ΔВАО - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой. ⇒
ВD=DО= 
ВО= ОС.
2) Дополнительное построение: Проведём ОМ⊥АС.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АDО и АМО.
∠DАО=∠ОАС - по условию, АО - общая.
Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.⇒ΔАDО = ΔАМО
Из равенства треугольников следует равенство катетов:
DО = МО = ВО= ОС.
3) Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМС (∠М=90°).
Из доказанного выше МО=ОС. Т.е. катет МО равен половине гипотенузы ОС.
Следовательно ∠С=30°
4) Рассмотрим прямоугольный треугольник АDC(∠D=90°).
По свойству острых углов прямоугольного треугольника
∠DАС=90°-∠С=90°-30°=60°.
По условию ∠DАС=2х ⇒ 2х=60°, х=30°
5) ∠ВАС=3х=3*30°=90°
∠А треугольника АВС = 90°
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠В треугольника АВС будет равен: ∠В=180°-∠А-∠С=180°-90°-30°=60°
треугольник DBC-равнобедренний,так как угол С=35 градусов и угол DBC 35 градусов.
Из этого следует,что в этом труегольнике больший угол BDC,значит, сторона ВС в этом треугольнике самая большая(напротив большего угла лежит большая сторона)
В треугольнике АВD большая сторона BD(так как угол А=75 градусов-самый большой)
А BD=DC(так как треугольник DBC-равнобедренний) и эти стороны меньше ВС.
Из всего этого следует,что AD<BC,так как большая сторона(BD) треугольника ABD меньше большой стороны(BC) треугольника DBC.
Значит и меньшая сторона(AD) треуг. ABD будет меньше большей стороны(BD) треугольника ABD.
AD<BC
