В прямокутному трикутнику ABC (кут С-90°) про- ведена висота CD так, що довжина відрізка BD на
4 см більше довжини відрізка CD, AD-9 см. Знай-
ти сторони трикутника ABC.
1) АВ=15 см, Ас-20 см, ВС-25 см
2) АВ-20 см, Ас-25 см, ВС-15 см
3) АВ=30 см, АС=10 см, ВС=20 см
4) АВ=25 см, АС=15 см, ВС=20 см
Виберіть одну відповідь
o3

Треугольник изобразим на рисунке. Пусть BL=2a, LC=a, MC=2b, AM=b, AK=2c, KB=c. Тогда:
S_AKM = 1/2 * AK * AM * sinA = 1/2*2c*b*sinA=bc*sinA,
S_KBL = 1/2 * KB * BL *sinB = 1/2 * c * 2a * sinB = ac*sinB
S_LCM = 1/2 * LC * MC * sinC = 1/2 * a * 2b * sinC = ab*sinC
S_AKM + S_KBL + S_LCM = bc*sinA + ac*sinB + ab*sinC = 2
С другой стороны,
S_ABC = 1/2 * AB * AC * sinA = 1/2 * 3c * 3b * sinA = 9/2 * bc*sinA
S_ABC = 1/2 * AB * BC * sinB = 1/2 * 3c * 3a * sinB = 9/2 * ac*sinB
S_ABC = 1/2 * BC * AC * sinC = 1/2 * 3a * 3b * sinC = 9/2 * ab*sinC
Сложим эти три выражения, получим:
3*S_ABC = 9/2 * (bc*sinA + ac*sinB + ab*sinC) = 9/2 * 2 = 9
Отсюда S_ABC = 3
Тогда S_KLM = S_ABC - (S_AKM + S_KBL + S_LCM) = 3 - 2 = 1
ответ: 1.

Смотри рисунок в файле

именно в такой трапеции, как у нас,
S=r*p    где р- полупериметр. (это легко доказывается, но это такое свойство)
можно сразу найти r=S/p=320/40=8
тогда высота равна 2*8=16
периметр будет (если все сложить) 4х+4у=80  => 
1) х+у=20
а из треуг. СДЕ имеем (х+у)²=(у-х)²+16²  подставляем 1) в левую часть
имеем 20²=(у-х)²+16²   
(у-х)²=144      т.к. у>х, то просто извлекаем квадрат и получаем
2) у-х=12
из 1) и 2) находим    х=4    у=16

теперь из подобия закрашенных треугольников(я их вынес в отдельный рис., находим искомое КМ.
КМ/СЕ=КС/АЕ
КМ/16=4/20
КМ=4*16/20=3.2